1) Cho phương trình \({x^2} - (2m + 1)x + 4m - 2 = 0\) (1) (với \(m\) là tham số).a) Tìm tất cả giá trị

Câu hỏi số 636257:

Vận dụng

1) Cho phương trình \({x^2} - (2m + 1)x + 4m - 2 = 0\) (1) (với \(m\) là tham số).

a) Tìm tất cả giá trị của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \({x_1},{x_2}\) là độ của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt {13} \).

2) Giải phương trình \(6\sqrt {2x + 5} + 4\sqrt {x + 2} = 3x + 20\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:636257

Phương pháp giải

1a) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\)

1b) Để \({x_1},{x_2}\) là độ của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt {13} \)

\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {\sqrt {13} } \right)^2}\) (áp dụng định lí Pytago)

2) Chuyển vế đưa phương trình về dạng \({A^2} + {B^2} = 0\)

Giải chi tiết

1) Cho phương trình \({x^2} - (2m + 1)x + 4m - 2 = 0\) (1) (với \(m\) là tham số).

a) Tìm tất cả giá trị của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( { - \left( {2m + 1} \right)} \right)^2} - 4.\left( {4m - 2} \right)\\\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 4m + 1 - 16m + 8\\\,\,\,\,\, = 4{m^2} - 12m + 9\\\,\,\,\,\, = {\left( {2m - 3} \right)^2}\end{array}\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow 2m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(m \ne \dfrac{3}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \({x_1},{x_2}\) là độ của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt {13} \).

Với \(m \ne \dfrac{3}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}.{x_2} = 4m - 2\end{array} \right.\).

Để \({x_1},{x_2}\) là độ của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt {13} \)

\( \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {\left( {\sqrt {13} } \right)^2}\) (áp dụng định lí Pytago)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 13\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 13\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2\left( {4m - 2} \right) = 13\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 8m + 4 = 13\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 8 = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m - 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) - 2\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn \(m \ne \dfrac{3}{2}\))

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 1\end{array} \right.\).

2) Giải phương trình \(6\sqrt {2x + 5} + 4\sqrt {x + 2} = 3x + 20\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{5}{2}\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}6\sqrt {2x + 5} + 4\sqrt {x + 2} = 3x + 20\\ \Leftrightarrow 3x + 20 - 6\sqrt {2x + 5} - 4\sqrt {x + 2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 5 - 6\sqrt {2x + 5} + 9} \right) + \left( {x + 2 - 4\sqrt {x + 2} + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 5} - 3} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right)^2} = 0\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt {2x + 5} - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x\\{\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {\sqrt {2x + 5} - 3} \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 2} - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 5} - 3 = 0\\\sqrt {x + 2} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 5} = 3\\\sqrt {x + 2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 5 = 9\\x + 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link