Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, AD là đường cao. Gọi E, F lần
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, AD là đường cao. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC.
1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và AE.AB = AF.AC
2) Gọi AP là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AP vuông góc với EF.
3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Gọi K là trực tâm của tam giác BTC. Chứng minh tam giác HKT vuông tại H.
Quảng cáo
1) Xét tứ giác AEDF có: \(\angle AED + \angle AFD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
=> AEDF là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh \(\angle PAC + \angle AFE = {90^0}\)
c) Gọi M là trung điểm BC, chứng minh OM là đường trung bình của tam giác PAH và NTK
1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp và AE.AB = AF.AC
+) Ta có:
\(\begin{array}{l}DE \bot AB \Rightarrow \angle AED = {90^0}\\DF \bot AC \Rightarrow \angle AFD = {90^0}\end{array}\)
Xét tứ giác AEDF có: \(\angle AED + \angle AFD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
=> AEDF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).
+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADB, đường cao DE ta có: \(A{D^2} = AE.AB\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADC, đường cao DF ta có: \(A{D^2} = AF.AC\).
\( \Rightarrow AE.AB = AF.AC\,\,\left( { = A{D^2}} \right)\) (đpcm).
2) Gọi AP là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AP vuông góc với EF.
Gọi \(EF \cap AP = \left\{ I \right\}\).
Ta có \(\angle ACP = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => Tam giác ACP vuông tại C.
\( \Rightarrow \angle {A_1} + \angle P = {90^0}\) (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Ta có: \(\angle {A_2} + \angle ABC = {90^0}\) (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông ABD).
Lại có \(\angle P = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\).
Mà \(\angle {A_2} = \angle {F_1}\) (hai góc nội tiếp cùngc hắn cung DE).
\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {F_1}\).
Ta có: \(\angle {F_1} + \angle {F_2} = \angle AFD = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle {A_1} + \angle {F_2} = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta AIF\) vuông tại I.
Vậy \(AI \bot IF\) hay \(AP \bot EF\,\,\left( {dpcm} \right)\).
3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Gọi K là trực tâm của tam giác BTC. Chứng minh tam giác HKT vuông tại H.
Ta có \(CP \bot AC\) (cmt), mà \(BH \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow CP\parallel BH\) (từ vuông góc đến song song).
Tương tự ta chứng minh được \(BP\parallel CH\) (cùng vuông góc với AB)
\( \Rightarrow HBPC\) là hình bình hành (dhnb) => Hai đường chéo BC và HP cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Gọi M là trung điểm BC \( \Rightarrow \) M là trung điểm HP.
\( \Rightarrow \) OM là đường trung bình của \(\Delta AHP\) (định nghĩa)
\( \Rightarrow OM\parallel AH,\,\,OM = \dfrac{1}{2}AH\) (3) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Kẻ đường kính OT cắt đường tròn tại điểm thứ hai N \(\left( {N \ne T} \right)\) \( \Rightarrow \angle TCN\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow CN \bot TC\).
Do K là trực tâm \(\Delta BTC\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(BK \bot TC\)
\( \Rightarrow CN\parallel BK\) (từ vuông góc đến song song).
Chứng minh tương tự \(CK\parallel NB\) (do cùng vuông góc với TB)
\( \Rightarrow CNBK\) là hình bình hành (dhnb) => Hai đường chéo BC và KN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà M là trung điểm của BC nên M là trung điểm KN.
\( \Rightarrow \) OM là đường trung bình của \(\Delta NKT\) (định nghĩa)
\( \Rightarrow OM\parallel TK,OM = \dfrac{1}{2}TK\) (4) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow AH\parallel TK,AH = TK\)
\( \Rightarrow AHKT\) là hình bình hành (dhnb) (đpcm).
\( \Rightarrow AT\parallel HK\) (Tính chất hình bình hành).
Mà \(\angle ATH = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AH)
\( \Rightarrow \angle THK = \angle ATH = {90^0}\) (2 góc so le trong bằng nhau)
Vậy \(\Delta HKT\) vuông tại H (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
