Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2;1;4), B(2;5;4), $C\left( { - \dfrac{5}{2};5; - 1} \right)$,

Câu hỏi số 637289:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2;1;4), B(2;5;4), $C\left( { - \dfrac{5}{2};5; - 1} \right)$, D(-3;1;-4). Các điểm M, N thỏa mãn $M{A^2} + 3M{B^2} = 48$ và $N{D^2} = \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {ND} $. Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN.

A. 4.

B. 1.

C. 0.

D. $\dfrac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637289

Phương pháp giải

Gọi I thoả mãn $\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = 0$. Chèn I vào $M{A^2} + 3M{B^2} = 48$ từ đó tìm MI = 3

Suy ra M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính bằng 3.

Gọi E là trung điểm của BD. Từ $N{D^2} = \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {ND} $ chứng minh $ND \bot CE$ suy ra N thuộc mặt phẳng (P) cố định.

Suy ra $M{N_{\min }} = d\left( {I,\left( P \right)} \right) - R$

Giải chi tiết

Gọi I thoả mãn $\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = 0$ suy ra $I\left( {2;4;4} \right)$ và $IA = 3;IB = 1$

Ta có $M{A^2} + 3M{B^2} = 48$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 48\\ \Leftrightarrow 4M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} + 3I{B^2} = 48\\ \Leftrightarrow 4M{I^2} + 0 + {3^2} + {3.1^2} = 48 \Leftrightarrow MI = 3\end{array}$

Suy ra M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính bằng 3.

Gọi E là trung điểm của BD nên $E\left( { - \dfrac{1}{2};3;0} \right)$

$\begin{array}{l}N{D^2} = \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {ND} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {ND} .\overrightarrow {ND} - \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {ND} = 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {ND} \left( {\overrightarrow {ND} - \overrightarrow {NC} - \overrightarrow {BC} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {ND} .\left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BC} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {ND} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {ND} .2.\overrightarrow {CE} = 0\end{array}$

TH1: Nếu $N \equiv D$ thì $MN = MD$ nhỏ nhất khi $MN = MI - R = 7\sqrt 2 - 3$

TH2: Nếu $N \ne D,ND \bot CE$

Ta có $\overrightarrow {CE} = \left( {2, - 2,1} \right);\overrightarrow {ND} \left( { - 3 - x;1 - y; - 4 - z} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( { - 3 - x} \right) - 2\left( {1 - y} \right) + 1\left( { - 4 - z} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 2x + 2y - z - 12 = 0\end{array}$

Vậy $M \in \left( {I,3} \right)$, $I\left( {2;4;4} \right)$ và $N \in \left( P \right): - 2x + 2y - z - 12 = 0$. Ta đi tìm MN nhỏ nhất

Ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 4 > 3$ nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu tâm I.

Khi đó $M{N_{\min }} = d\left( {I,\left( P \right)} \right) - R = 4 - 3 = 1$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.