Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \), có đáy ABC là tam giác vuông

Câu hỏi số 637317:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \), có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a, AC = 2a (tham khảo hình vẽ).

Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C’) là

A. \(\dfrac{{\sqrt {57} }}{{19}}a\).

B. \(\dfrac{{3\sqrt {57} }}{{19}}a\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {57} }}{{38}}a\).

D. \(\dfrac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637317

Phương pháp giải

Chuyển tính khoảng cách từ B sang tính khoảng cách từ A’.

Dựng \(A'K \bot B'C',\,\,A'H \bot AK\), chứng minh \(A'H \bot \left( {AB'C'} \right)\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính A’H.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AB' \cap A'B \Rightarrow A'B \cap \left( {AB'C'} \right) = O\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right)}}{{d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)}} = \dfrac{{BO}}{{A'O}} = 1\).

\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right)\).

Dựng \(A'K \bot B'C',\,\,A'H \bot AK\) ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B'C' \bot A'K\\B'C' \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {A'KA} \right) \Rightarrow B'C' \bot A'H\\\left\{ \begin{array}{l}A'H \bot B'C'\\A'H \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow A'H \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H\end{array}\)

Xét tam giác A’B’C’ vuông tại A’ đường cao A’K \( \Rightarrow A'K = \dfrac{{A'B'.A'C'}}{{\sqrt {A'{{B'}^2} + A'{{C'}^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Xét tam giác AA’K vuông tại A’, đường cao A’H

\( \Rightarrow A'H = \dfrac{{A'A.A'K}}{{\sqrt {A'{A^2} + A'{K^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}{a^2}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{{a\sqrt {19} }} = \dfrac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt {19} }} = \dfrac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}\).

Vậy \(d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = \dfrac{{2\sqrt {57} }}{{19}}a\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.