Tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \({\log _2}\left( {x + 2y}

Câu hỏi số 637773:

Vận dụng cao

Tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn điều kiện \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 3xy - x - y = 0\) với \(x + y > 0, - 20 \le x \le 20\) là:

A. 41.

B. 10.

C. 6.

D. 19.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637773

Phương pháp giải

Phân tích nhân tử, biến đổi: \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 3xy - x - y = {\log _2}\left( {x + 2y} \right) + \left( {x + 2y - 1} \right)\left( {x + y} \right)\).

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm phương trình.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x + 2y > 0\).

Phương trình \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 3xy - x - y = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} + xy + 2xy + 2{y^2} - \left( {x + y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) + \left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2y} \right) + \left( {x + 2y - 1} \right)\left( {x + y} \right) = 0\)(*).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + \left( {t - 1} \right)\left( {x + y} \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), với \(x + y > 0\), có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + \left( {x + y} \right) > 0 \Rightarrow y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lại có: \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow t = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(f\left( t \right) = 0\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow x + 2y = 1\).

Xét các điều kiện: \(x,y \in \mathbb{Z},\)\(x + y > 0, - 20 \le x \le 20\)

\( \Rightarrow x\) là số nguyên lẻ thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\).

Giả sử \(x = 2t + 1\,\,\left( {t \in \left\{ { - 10; - 9;....;9} \right\}} \right) \Rightarrow y = \dfrac{{1 - x}}{2} = - t\)

\( \Rightarrow x + y = t + 1 > 0 \Rightarrow t > - 1 \Rightarrow t \in \left\{ {0;1;2;...;9} \right\}\)

\( \Rightarrow \) Có 10 giá trị của t thỏa mãn \( \Rightarrow \) Có 10 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.