Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\\ln

Câu hỏi số 637342:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x - 1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\\ln x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 1\end{array} \right.\). Biết \(\int\limits_0^2 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{{ - a}}{b} + \ln c\,\,\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản, khi đó tổng \(a + b + c\) bằng

A. \(29\).

B. \(26\).

C. \(27\).

D. \(28\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637342

Phương pháp giải

Tách thành 2 tích phân: \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)} dx + \int\limits_1^2 {xf\left( x \right)} dx\).

Tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^2 {xf\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)} dx + \int\limits_1^2 {xf\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {x\left( {x - 1} \right)} dx + \int\limits_1^2 {x\ln x} dx\).

Xét \({I_1} = \int\limits_0^1 {x\left( {x - 1} \right)} dx = - \dfrac{1}{6}\).

Xét \({I_2} = \int\limits_1^2 {x\ln x} dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {I_2} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {xdx} = 2\ln 2 - \dfrac{3}{4}\)

Khi đó: \(I = {I_1} + {I_2} = - \dfrac{{11}}{{12}} + \ln 4\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = 11,\,\,b = 12,\,\,c = 4\\ \Rightarrow a + b + c = 27\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.