Biết \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên

Câu hỏi số 637815:

Vận dụng cao

Biết \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m\) \(\left( {m > 0} \right)\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = F\left( x \right),y = G\left( x \right),x = 0\) và \(x = 4\). Khi \(S = 8\) thì \(m\) bằng

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637815

Phương pháp giải

\(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = F\left( 4 \right) - F\left( 0 \right) = G\left( 4 \right) - G\left( 0 \right)\) và \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + C\).

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),\,\,y = g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

\(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) \( \Rightarrow \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = F\left( 4 \right) - F\left( 0 \right) = G\left( 4 \right) - G\left( 0 \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = F\left( 4 \right) - F\left( 0 \right) + G\left( 4 \right) - G\left( 0 \right)\\F\left( 4 \right) - G\left( 4 \right) = F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m} \right) = F\left( 4 \right) - F\left( 0 \right) + G\left( 4 \right) - G\left( 0 \right)\\F\left( 4 \right) - G\left( 4 \right) = F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( 4 \right) + F\left( 0 \right) - G\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 4m = 0\\F\left( 4 \right) - G\left( 4 \right) = F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right)\end{array} \right. \Rightarrow F\left( 4 \right) - G\left( 4 \right) = F\left( 0 \right) - G\left( 0 \right) = - 2m < 0\).

Mặt khác: cũng do \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + C\)\( \Leftrightarrow F\left( x \right) - G\left( x \right) = C = const\).

\( \Rightarrow F\left( x \right) - G\left( x \right) = - 2m < 0\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = F\left( x \right),y = G\left( x \right),x = 0\) và \(x = 4\) là:

\(S = \int\limits_0^4 {\left| {F(x) - G(x)} \right|dx} = \int\limits_0^4 {\left| { - 2m} \right|dx} = \int\limits_0^4 {\left( {2m} \right)dx} = \left. {2mx} \right|_0^4 = 8m\).

Khi \(S = 8\) thì \(m = 1\).

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.