Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 9 = 0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 4y - 4x + 5 = 0\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại điểm \(B\). Điểm \(M\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), nhìn đoạn \(AB\) dưới góc vuông và độ dài \(MB\) lớn nhất. Tính độ dài \(MB\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Viết phương trình đường thẳng d.
Tìm B là giao điểm của d và (P).
\(M\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), nhìn đoạn \(AB\) dưới góc vuông \( \Rightarrow M\) nằm trên đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và mặt cầu đường kính AB.
\(MB\) max = 2r (đường kính của đường tròn (C) ).
\(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 4y - 4x + 5 = 0 \Rightarrow d\) có 1 vectơ chỉ phương là \(\left( {3;4; - 4} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = - 3 - 4t\end{array} \right.\).
Giả sử \(B\left( {1 + 3t;2 + 4t; - 3 - 4t} \right)\).
Mà \(B \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {1 + 3t} \right) + 2\left( {2 + 4t} \right) - \left( { - 3 - 4t} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)\( \Rightarrow B\left( { - 2; - 2;1} \right)\).
\(M\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), nhìn đoạn \(AB\) dưới góc vuông
\( \Rightarrow M\) nằm trên đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và mặt cầu (S) đường kính AB.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - \dfrac{1}{2};0; - 1} \right)\) là trung điểm của AB, bán kính
\(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {4^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\).
\(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\dfrac{{ - 1}}{2} + 0 + 1 + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 3\).
Khi đó, bán kính r của đường tròn (C) là: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {\dfrac{{41}}{4} - 9} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(MB\) lớn nhất\( \Leftrightarrow MB\) là đường kính của (C) \( \Leftrightarrow MB = 2r = \sqrt 5 \).
Chọn C
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
