Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(y

Câu hỏi số 637821:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) trong đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(y = \left| {\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}}} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)?

A. 9.

B. 0.

C. 10.

D. 8.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:637821

Phương pháp giải

Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad - bc \ne 0} \right)\) luôn đơn điệu trên các khoảng xác định.

Sử dụng các điều kiện có sẵn để giải bất phương trình.

Giải chi tiết

Xét hàm số \(y = \dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}}\,\,\left( {D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m - 2} \right\}} \right)\) có : \(y' = \dfrac{{{m^2} + 2m - 3}}{{{{\left( {x + m + 2} \right)}^2}}}\).

TH1: \({m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)\(y = \dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}}\) là các hàm hằng: \(y = 1,\,\,y = - 3\) trên các khoảng xác định.

\( \Rightarrow \) Loại.

TH2: \({m^2} + 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 3\end{array} \right. \Rightarrow y' > 0,\forall x \in D\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}}\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - m - 2} \right),\)\(\left( { - m - 2; + \infty } \right)\).

Để \(y = \left| {\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}}} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

thì \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}} > 0,\forall x > 1\\ - m - 2 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}} > 0,\forall x > 1\\m \ge - 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}} > 0,\forall x > 1\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\,\,\left( {do\,\,\,\dfrac{{mx + 3}}{{\,x + m + 2}} > 0,\forall x > 1,m > 1} \right)\).

TH3: \({m^2} + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1 \Rightarrow y' < 0,\forall x \in D\).

Để \(y = \left| {\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}}} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}} < 0,\forall x > 1\\ - m - 2 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}} < 0,\forall x > 1\\m \ge - 3\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \)\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{mx + 3}}{{x + m + 2}} < 0,\forall x > 1\\ - 3 < m < 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + 3 < 0,\forall x > 1\,\left( {do\,\,x + m + 2 > 0,\forall x > 1,m > - 3} \right)\\ - 3 < m < 1\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx < - 3,\forall x > 1\\ - 3 < m < 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - \dfrac{3}{x},\forall x > 1\\ - 3 < m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 3\\ - 3 < m < 1\end{array} \right. \Rightarrow m \in \emptyset \).

Kết hợp 3 trường hợp và điều kiện m là số nguyên trong đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\), ta được: \(m \in \left\{ {2;3;...;10} \right\}\): 9 giá trị.

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.