1. Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } \).2. Cho biểu thức

Câu hỏi số 638286:

Thông hiểu

1. Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } \).

2. Cho biểu thức \(P = \dfrac{1}{{2\sqrt x - 4}} - \dfrac{1}{{2\sqrt x + 4}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm tất cả các số nguyên x để P đạt giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638286

Phương pháp giải

1) Đưa biểu thức dưới căn về dạng bình phương, sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để phá căn.

a) Quy đồng mẫu. Sử dụng hằng đẳng thức.

b) Đưa biểu thức P về dạng \(P = \dfrac{1}{A}\), để \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \)Ư(1). Tìm các số nguyên x thoả mãn.

Giải chi tiết

1. Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } \).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } \\A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {{3^2}.3} + 7\sqrt {{2^2} + 2.2.\sqrt 3 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \\A = 2\sqrt 3 - 3.3\sqrt 3 + 7\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \\A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7.\left| {2 + \sqrt 3 } \right|\\A = - 7\sqrt 3 + 7.\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\,\,\left( {Do\,\,2 + \sqrt 3 > 0} \right)\\A = - 7\sqrt 3 + 14 + 7\sqrt 3 \\A = 14\end{array}\)

Vậy A = 14.

2. Cho biểu thức \(P = \dfrac{1}{{2\sqrt x - 4}} - \dfrac{1}{{2\sqrt x + 4}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)).

a) Rút gọn biểu thức P.

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{1}{{2\sqrt x - 4}} - \dfrac{1}{{2\sqrt x + 4}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\\P = \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\P = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right) + 2\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sqrt x + 2 - \sqrt x + 2 + 2\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\P = \dfrac{{2\sqrt x + 4}}{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\end{array}\)

\(P = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) thì \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\).

b) Tìm tất cả các số nguyên x để P đạt giá trị nguyên.

Để \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\) đạt giá trị nguyên thì \(\sqrt x - 2 \in \) Ư(1) \( = \left\{ {1; - 1} \right\}\).

TH1: \(\sqrt x - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\,\,\left( {tm} \right)\).

TH2: \(\sqrt x - 2 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy để P đạt giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {1;9} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link