Tính tích phân I = dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 6386:

Tính tích phân I = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}$ dx

A. I = - $\frac{\pi }{8}$ + $\frac{1}{4\sqrt{2}}$ ln( 3 - 2√2)

B. I = $\frac{\pi }{8}$ + $\frac{1}{4\sqrt{2}}$ ln( 3 - 2√2)

C. I = $\frac{\pi }{8}$ - $\frac{1}{4\sqrt{2}}$ ln( 3 - 2√2)

D. I = - $\frac{\pi }{8}$ - $\frac{1}{4\sqrt{2}}$ ln( 3 - 2√2)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6386

Giải chi tiết

I = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{sin^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}$ dx

Xét thêm J = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{cos^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}$ dx. Ta có

I + J = $\frac{\pi }{4}$ (1). Ngoài ra :

J – I = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{cos^{4}x-sin^{4}x}{sin^{4}x+cos^{4}x}$ dx = $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{cos2x}{1-\frac{1}{2}sin^{2}2x}$ dx

= $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$ $\frac{2cos2x}{2-sin^{2}2x}$ dx

Đặt t = sin2x ta có dt = 2cos2x.dx.

Khi đó J – I = $\int_{1}^{0}$ $\frac{dt}{2-t^{2}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ ln| $\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}$ | $\begin{matrix}0\\1\end{matrix}$

= $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ ln ( 3 - 2√2) ( 2)

Từ ( 1 ) và (2) suy ra I = $\frac{\pi }{8}$ - $\frac{1}{4\sqrt{2}}$ ln( 3 - 2√2)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.