Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{x^2} - 16}}{{54}} < {\log

Câu hỏi số 638797:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{x^2} - 16}}{{54}} < {\log _3}\dfrac{{{x^2} - 16}}{{24}}\)?

A. 10.

B. 11.

C. 22.

D. 20.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638797

Phương pháp giải

Tìm điều kiện xác định: Xác định giá trị của \(x\) để các biểu thức trong logarit là dương.
Đặt \(t=x^2-16\), giải bất phương trình ở dạng \(f(t)<g(t)\).

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: \(\frac{x^2-16}{54}>0\) và \(\frac{x^2-16}{24}>0 \Rightarrow x^2-16>0 \Rightarrow|x|>4\).
Đặt \(t=x^2-16>0\). Bất đẳng thức trở thành \(\log _2 \dfrac{t}{54}<\log _3 \dfrac{t}{24}\)
Suy ra \(\dfrac{\ln t-\ln 54}{\ln 2}<\dfrac{\ln t-\ln 24}{\ln 3}.\)
\(\Leftrightarrow (\ln 3-\ln 2) \ln t<\ln 3 \ln 54-\ln 2 \ln 24\)
Ta có \(\ln 54=\ln 2+3 \ln 3\), \(\ln 24=\ln 3+3 \ln 2\).
Thay vào và rút gọn ta được
\(\ln t<3(\ln 3+\ln 2)=\ln \left(3^3 \cdot 2^3\right)=\ln 216.\)
Vậy \(t<216\) hay \(x^2-16<216 \Rightarrow x^2<232\)
\(\Rightarrow|x|<\sqrt{232} \approx 15,23\).
Kết hợp với điều kiện \(|x|>4\) ta có các \(x\) nguyên: \(5 \leq|x| \leq 15\).
Số giá trị nguyên là \(2 \cdot(15-5+\) 1) \(=2 \cdot 11=22\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.