Cho hàm số \(y = \left| {2{x^3} - 3(2m + 2){x^2} + 6\left( {{m^2} + m} \right)x - m} \right|\). Có bao nhiêu giá

Câu hỏi số 643102:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \left| {2{x^3} - 3(2m + 2){x^2} + 6\left( {{m^2} + m} \right)x - m} \right|\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in ( - 20;20)\) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;1)\)?

A. 19.

B. 18.

C. 20.

D. 21.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:643102

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f(x) = 2{x^3} - 3(2m + 2){x^2} + 6\left( {{m^2} + m} \right)x - m\)

\( \Rightarrow f'(x) = 6\left[ {{x^2} - (2m + 2)x + {m^2} + m} \right],\,\,\Delta ' = m + 1\).

Trường hợp 1: \(m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 1\) suy ra \(f'(x) \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \((0;1)\) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le - 1}\\{f(0) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le - 1}\\{ - m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow m \le - 1} \right.} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(m \in \mathbb{Z};\,\,m \in ( - 20;20)\) ta được \(m \in \{ - 19; - 18; - 17; \cdots ; - 3; - 2; - 1\} \).

Ta có 19 giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán (1)

Trường hợp 2: \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\) khi đó \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m + 1 - \sqrt {m + 1} }\\{x = m + 1 + \sqrt {m + 1} }\end{array}} \right.\)

Bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\):

Vậy để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \((0;1)\) khi đó ta có các trường hợp sau

TH 2.1 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 - \sqrt {m + 1} \ge 1}\\{f(0) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \sqrt {m + 1} }\\{m \le 0}\end{array}} \right.} \right.\) (Vô nghiệm)

TH2.2 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 - \sqrt {m + 1} \le 0}\\{m + 1 + \sqrt {m + 1} \ge 1}\\{f(0) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {m + 1} - 1 \le 0}\\{\sqrt {m + 1} \ge - m}\\{ - m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow m = 0} \right.} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 + \sqrt {m + 1} \le 0}\\{f(0) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {m + 1} + 1 \le 0}\\{ - m \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\) (Vô nghiệm)

Kết hợp với điều kiện ta được: \(m = 0\). Do \(m \in \mathbb{Z};\,\,m \in ( - 20;20)\) Ta có 1 giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán (2).

Từ (1) và (2) suy ra có tất cả 20 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.