Cho \(A = \left[ {\dfrac{{x - 1}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{1}{{1 - x}}}

Câu hỏi số 643452:

Vận dụng

Cho \(A = \left[ {\dfrac{{x - 1}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{1}{{1 - x}}} \right]:\dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\)

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \(A\)

b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \({\rm{A}}\) và \(\dfrac{2}{A}\) có giá trị là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:643452

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ:

Vậy A xác định khi \(x \pm 1\)

b) Ta có \(A = \left[ {\dfrac{{x - 1}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{1}{{1 - x}}} \right]:\dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \left[ {\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {1 - 3x + {x^2}} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\\ = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1 - 1 + 3x - {x^2} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\\ = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{A} = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) + 3}}{{x - 1}} = x + 2 + \dfrac{3}{{x - 1}}\end{array}\)

Với \(x \in Z\) nên \(x + 2 \in \mathbb{Z}\) để \(\dfrac{2}{A} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{3}{{x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 3 \vdots x - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 2 \right) = \left\{ { \pm 1, \pm 2} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {0,2,1,3} \right\}\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện \(x \pm 1 \Rightarrow x \in \left\{ {0,2,3} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {0,2,3} \right\}\) thì \(\dfrac{2}{A}\) nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link