Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\).

Câu hỏi số 644811:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:644811

Phương pháp giải

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng \(A = {a^2} + {b^2} + c\)

Khi đó \(A \ge c\) với mọi x.

- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.

Giải chi tiết

\({\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)

\( \Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17\)\({\kern 1pt} \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17\)

\( \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - y + 1} \right)}^2} \ge 0}\\{{{\left( {y - 4} \right)}^2} \ge 0}\end{array}} \right.\) với mọi x nên \(A \ge - 17\) với mọi x.

\( \Rightarrow A = {\rm{\;}} - 17 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 1 = 0}\\{y - 4 = 0}\end{array}{\rm{ \;}}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = y - 1}\\{y = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 4}\end{array}} \right.\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là A = -17 tại \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 4}\end{array}} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link