Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. a) Tứ giác

Câu hỏi số 644780:

Vận dụng

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.

a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?

b) Tính các góc của tứ giác BMNC biết \(\hat A = {40^\circ }\)?

c) Các điểm M, N ở vị trí nào để BM = MN = NC?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:644780

Giải chi tiết

a) Ta có: AB = AM + MB

AC = AN + NC

Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

BM = NC ( gt)

Suy ra AN = AM

Xét tam giác AMN có: AM = AN (cmt)

Suy ra tam giác AMN cân tại A. Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\)

Xét tam giác ANM có: \(\hat A + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\(\widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^0} - \hat A}}{2}\) ( vì \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) ) (1)

Xét tam giác ABC cân tại A ta có: \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\(\hat B = \dfrac{{{{180}^0} - \hat A}}{2}\) ( vì \(\hat B = \hat C\)) (2)

Từ (1) và (2) \(\widehat {AMN} = \hat B\)

Mà \(\widehat {AMN},\hat B\) là hai góc đồng vị nên MN // BC.

Xét tứ giác MNCB có MN // BC nên MNCB là hình thang.

Lại có \(\hat B = \hat C\) (\(\Delta ABC\) cân tại A) nên MNCB là hình thang cân.

b. Ta có \(\hat B = \dfrac{{{{180}^0} - \hat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{40}^0}}}{2} = {70^0}\)

Ta có : \(\hat B + \widehat {BMN} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)

\(\widehat {BMN} = {180^0} - \hat B = {180^0} - {70^0} = {110^0}\)

Do BMNC là hình thang cân nên \(\widehat {BMN} = \widehat {MNC} = {110^0}\), \(\hat B = \hat C = {70^0}\)

Vậy \(\widehat {BMN} = \widehat {MNC} = {110^0}\), \(\hat B = \hat C = {70^0}\).

c. Ta có BM = MN khi và chỉ khi \(\widehat {{N_1}} = \widehat {{B_1}} = {70^0}\)

\( \Leftrightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (vì \(\widehat {{N_1}} = \widehat {{B_2}}\))

Tương tự MN = NC khi và chỉ khi \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{C_1}} \Leftrightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {do{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \widehat {{M_1}} = \widehat {{C_2}}} \right)\)

Như vậy, nếu BN và CM là các đường phân giác của tam giác ABC thì BM = MN = CN.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link