Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\). Về phía ngoài tam giác \({\rm{ABC}}\), vẽ hai tam giác

Câu hỏi số 644975:

Vận dụng

Cho tam giác \({\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\). Về phía ngoài tam giác \({\rm{ABC}}\), vẽ hai tam giác vuông cân \({\rm{ADB}}\,\,({\rm{DA}} = {\rm{DB}})\) và \({\rm{ACE}}\,\,({\rm{EA}} = {\rm{EC}})\). Gọi \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}},{\rm{I}}\) là giao điểm của \({\rm{DM}}\) với \({\rm{AB}},{\rm{K}}\) là giao điểm của \({\rm{EM}}\) với \({\rm{AC}}\). Chứng minh:

a) \({\rm{Ba}}\) điểm \({\rm{D}},{\rm{A}},{\rm{E}}\) thẳng hàng.

b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật.

c) Tam giác DME là tam giác vuông cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:644975

Phương pháp giải

Tính chất hình chữ nhật.

Giải chi tiết

a) Vì ΔABC vuông cân (gt), M là trung điểm của BC nên AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực trong tam giác.

Hay \(AM \bot BC\)(1)

ΔABC vuông cân \( \Rightarrow \)\(\widehat {MBA} = \widehat {MCA} = {45^0}\)

ΔBAD vuông cân (AD = BA) (gt)\( \Rightarrow \) \(\widehat {BDA} = {90^0}\)\(\widehat {DBA} = \widehat {DAB} = {45^0}\)(2)

Mà \(\widehat {DBM} = \widehat {DBA} + \widehat {ABM} = {45^0} + {45^0} = {90^0}\) (3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra ADBM là hình chữ nhật \( \Rightarrow \) AD // BC.(4)

\( \Rightarrow \)DM = AB (tính chất)

Chứng minh tương tự, ta có AECM là hình chữ nhật \( \Rightarrow \) AE // MC \( \Rightarrow \)AE // BC.(5)

\( \Rightarrow \)ME = AC (tính chất)

Từ (4) và (5) suy ra A, D, E thẳng hàng.

b) Ta có: ΔABC vuông cân \( \Rightarrow \)\(AM = \dfrac{{BC}}{2} = BM = MC\)

DA = DB (gt)

Suy ra D, M thuộc đường trung trực của AB \( \Rightarrow \widehat {MIA} = {90^0}\)

Chứng minh tương tự, ta có ME thuộc đường trung trực của AC\( \Rightarrow \widehat {MKA} = {90^0}\)

Xét tứ giác IAKM có:

\(\widehat {MIA} = {90^0}\) (cmt)

\(\widehat {MKA} = {90^0}\)(cmt)

\(\widehat {BAC} = {90^0}\) (ΔABC vuông cân)

\( \Rightarrow \)IAKM là hình chữ nhật.(dhnb) \( \Rightarrow \widehat {IMK} = {90^0}\) (*)

c) Ta có: AB = AC (ΔABC vuông cân)

ME = AC (cmt)

DM = AB (cmt)

\( \Rightarrow \)ME = DM(**)

Từ (*) và (**) suy ra tam giác DME là tam giác vuông cân. (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link