Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng BCM cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

Câu hỏi số 65527:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{0}$ . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ . Mặt phẳng BCM cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

A. $V_{BCNM}=$ $\frac{8\sqrt{3}a^{3}}{25}$

B. $V_{BCNM}=$ $\frac{9\sqrt{3}a^{3}}{25}$

C. $V_{BCNM}=$ $\frac{7\sqrt{3}a^{3}}{27}$

D. $V_{S.BCNM}=\frac{10\sqrt{3}a^{3}}{27}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:65527

Giải chi tiết

Tính thể tích của hình chóp S.BCNM

Mặt phẳng (BCM) // AD nên nó cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN//AD

Ta có: BC ⊥ AB và BC⊥ SA => BC ⊥BM

Tứ giác BCNM là hình thang vuông BM là đường cao.

Ta có: SA =AB. tan 60 = $a\sqrt{3}$

$\frac{MN}{AD}=\frac{SM}{SA}$

<=> $\frac{MN}{2a}=\frac{a\sqrt{3}-\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$

=> MN = $\frac{4a}{3}$

BM = $\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

Diện tích hình thang BCNM là : S = $\frac{2a+\frac{4a}{3}}{2}\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{10a^{2}}{3\sqrt{3}}$

$V_{SBCNM}= \frac{1}{3}.SH . S_{BCNM}$

Hạ SH ⊥ BM

Ta có: SH ⊥BM

Và BC ⊥ (SAB) $\equiv$ (SBM)=> BC ⊥ SH. Vậy SH ⊥ (BMNC)

=> SH là đường cao của khối chóp S.BCNM

Trong tam giác SBA ta có: SB = $\frac{AB}{cos60}=2a$

=> $\frac{AB}{SB}=\frac{AM}{MS}=\frac{1}{2}$

Vậy BM là phân giác của góc $\widehat{SBH}=> \widehat{SBH} = 30^{0}=> SH = SB.sin 30^{0}=2a.\frac{1}{2}=a$

Vậy thể tích khối chóp S.BCNM là

$V= \frac{1}{3}.a.\frac{10a^{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}a^{2}}{27}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.