Cho phương trình \({x^2} - 3\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 7m = 0\) (1) (với x là ẩn, m là tham

Câu hỏi số 656677:

Thông hiểu

Cho phương trình \({x^2} - 3\left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 7m = 0\) (1) (với x là ẩn, m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và \(3{x_1} - 3x_2^2 + (9m + 20){x_2} - 3{m^2} - 21m - 19 = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:656677

Phương pháp giải

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi \(ac < 0\)

b) Áp dụng hệ thức Viet

Giải chi tiết

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

để phương trình có hai nghiệm trái dâu thì \(a.c < 0 \Leftrightarrow 1\left( {{m^2} + 7m} \right) < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m\left( {m + 7} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 7 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m + 7 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m < - 7\end{array} \right.\left( {VL} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m > - 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow - 7 < m < 0\end{array}\)

Vậy \( - 7 < m < 0\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.

Phương trình (1) có

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( { - 3\left( {m + 2} \right)} \right)^2} - 4.1.\left( {{m^2} + 7m} \right)\\ = 9\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) - 4{m^2} - 28m\\ = 5{m^2} + 8m + 36\\ = 5\left( {{m^2} + \dfrac{8}{5}m + \dfrac{{36}}{5}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 5\left( {{m^2} + \dfrac{8}{5}m + \dfrac{{16}}{{25}} + \dfrac{{164}}{{25}}} \right)\\ = 5{\left( {m + \dfrac{4}{5}} \right)^2} + \dfrac{{164}}{5}\,\,\forall m\end{array}\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Giả sử 2 nghiệm đó là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\)

Theo hệ thức Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\left( {m + 2} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 7m\end{array} \right.\) (2)

Do \({x_2}\) là nghiệm của (1) nên \({x_2}^2 - 3\left( {m + 2} \right){x_2} + {m^2} + 7m = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {{x_2}^2 - 3\left( {m + 2} \right){x_2} + {m^2} + 7m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_2}^2 - \left( {9m + 18} \right){x_2} + 3{m^2} + 21m = 0\\ \Leftrightarrow 3{x_2}^2 - \left( {9m + 20} \right){x_2} + 3{m^2} + 21m = - 2{x_2}\end{array}\)

Để \(3{x_1} - 3x_2^2 + (9m + 20){x_2} - 3{m^2} - 21m - 19 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x_1} - 19 = 3x_2^2 - (9m + 20){x_2} + 3{m^2} + 21m\\ \Leftrightarrow 3{x_1} - 19 = - 2{x_2}\\ \Leftrightarrow 3{x_1} + 2{x_2} = 19\end{array}\)

Kết hợp với (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\left( {m + 2} \right)\\3{x_1} + 2{x_2} = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} + 2{x_2} = 6\left( {m + 2} \right)\\3{x_1} + 2{x_2} = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 3\left( {m + 2} \right) - {x_1}\\{x_1} = 7 - 6m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 7 - 6m\\{x_2} = 9m - 1\end{array} \right.\)

Thay \({x_1},{x_2}\) vào phương trình \({x_1}{x_2} = {m^2} + 7m\) ta được

\(\begin{array}{l}\left( {7 - 6m} \right)\left( {9m - 1} \right) = {m^2} + 7m\\ \Leftrightarrow 63m - 7 - 54{m^2} + 6m = {m^2} + 7m\\ \Leftrightarrow 55{m^2} - 62m + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {55m - 7} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{7}{{55}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{7}{{55}}\end{array} \right.\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2}\) và \(3{x_1} - 3x_2^2 + (9m + 20){x_2} - 3{m^2} - 21m - 19 = 0\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link