Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và có đường cao AH. Kẻ \(HD \bot AB\,\)và \(HE \bot
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và có đường cao AH. Kẻ \(HD \bot AB\,\)và \(HE \bot AC\,\)\(\,\left( {D \in AB,\,\,E \in AC} \right)\)
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
b) Tính số đo \(\angle EDB\), biết \(\angle ACB = 40^\circ \)
c) Đường thẳng qua E và vuông góc với AB cắt tia AO tại M. Chứng minh \(DM \bot AE.\,\)
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
Từ giả thiết ta có:
\(HD \bot AB\, \Rightarrow \angle ADH = 90^\circ \)(tính chất)
\(HE \bot AC\, \Rightarrow \angle AEH = 90^\circ \)(tính chất)
\( \Rightarrow \angle ADH + \angle AEH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Mà \(\angle ADH\) và \(\angle AEH\)ở vị trí đối nhau nên tứ giác ADHE nội tiếp (dhnb) (đpcm)
b) Tính số đo \(\angle EDB\), biết \(\angle ACB = 40^\circ \)
Ta có: \(HD \bot AB\,\,\left( {{\rm{gt}}} \right) \Rightarrow \angle BDH = 90^\circ \)(tính chất)
Tam giác AHC vuông tại H nên \(\angle ACH + \angle CAH = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
\( \Rightarrow \angle CAH = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \) hay \(\angle EAH = 50^\circ \)
Vì tứ giác ADHE nội tiếp (chứng minh câu a) nên \(\angle EDH = \angle EAH = {50^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)
\( \Rightarrow \angle EDB = \angle BDH + \angle EDH = 90^\circ + 50^\circ = 140^\circ \)
c) Đường thẳng qua E và vuông góc với AB cắt tia AO tại M. Chứng minh \(DM \bot AE.\,\)
Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow Ax \bot AO\) (tính chất)
Do ADHE nội tiếp nên \(\angle ADE = \angle AHE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
Mà \(\angle AHE = \angle ACH\) (cùng phụ với \(\angle EHC\))
\( \Rightarrow \angle ADE = \angle ACH = \angle ACB\,\,\left( { = \angle AHE} \right)\)
Mà \(\angle ACB = \angle BAx\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)
\( \Rightarrow \angle BAx = \angle ADE\,\,\left( { = \angle ACB} \right)\), mà hai góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau.
\( \Rightarrow Ax\parallel DE\) (dhnb)
Mà \(Ax \bot AO\) (theo cách vẽ) nên \(DE \bot AO\) (từ vuông góc đến song song).
Xét \(\Delta ADE\) có \(DE \bot AO\), \(EM \bot AB\left( {gt} \right)\), DE cắt AO tại M nên M là trực tâm của \(\Delta ADE\).
\( \Rightarrow DM \bot AE\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
