Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB, E là điểm trên
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB, E là điểm trên cung AM (E khác A và M). Lấy điểm F trên đoạn BE sao cho BF = AE. Gọi K là giao điểm của MO và BE.
a) Chứng minh rằng EAOK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng \(\Delta EMF\) vuông cân.
c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D. Chứng minh rằng MK.ED = MD.EK.
Quảng cáo
a) Chứng minh rằng EAOK là tứ giác nội tiếp.
Vì M là điểm chính giữa của cung AB nên \(OM \bot AB\) \( \Rightarrow \angle AOK = {90^0}\).
Ta có \(\angle AEB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle AEK = {90^0}\).
Xét tứ giác EAOK có: \(\angle AOK + \angle AEK = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Mà E, O là hai đỉnh đối diện của tứ giác EAOK.
=> EAOK là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm).
b) Chứng minh rằng \(\Delta EMF\) vuông cân.
Nối AM, FM.
Vì M là điểm chính giữa cung AB nên số đo cung AM = số đo cung BM
=> AM = BM (hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta FBM\) có:
\(AE = BF\,\,\left( {gt} \right)\)
\(\angle EAM = \angle FBM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EM).
\(AM = BM\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AEM = \Delta FBM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AME = \angle BMF\) (hai góc tương ứng).
Ta có:
\(\angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AMF + \angle BMF = {90^0}\\ \Rightarrow \angle AMF + \angle AME = {90^0}\\ \Rightarrow \angle EMF = {90^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta EMF\) vuông tại M.
Mà \(\angle MEF = \angle MEB = \dfrac{1}{2}\angle MOB = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BM).
\( \Rightarrow \Delta EMF\) vuông cân tại M (dhnb) (đpcm).
c) Hai đường thẳng AE và OM cắt nhau tại D. Chứng minh rằng MK.ED = MD.EK.
Dễ thấy tứ giác AEMB nội tiếp (O) \( \Rightarrow \angle DEM = \angle ABM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).
Mà tam giác MAB có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AMB = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\\AM = BM\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \Delta AMB\) vuông cân tại M \( \Rightarrow \angle ABM = {45^0}\).
\( \Rightarrow \angle DEM = {45^0} = \angle MEF = \dfrac{1}{2}\angle DEK\).
\( \Rightarrow EM\) là phân giác trong của góc DEK.
Áp dụng định lí đường phân giác ta có: \(\dfrac{{MD}}{{MK}} = \dfrac{{ED}}{{EK}} \Rightarrow MK.ED = MD.EK\,\,\left( {dpcm} \right)\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
