Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB . Lấy điểm I bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (I khác A và
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB . Lấy điểm I bất kỳ thuộc đoạn thẳng AB (I khác A và B). Qua I kẻ một đường thẳng d bất kỳ cắt đường tròn (O) tại M và N sao cho AM < AN (M khác A và B; N khác A và B). Từ A kẻ AP vuông góc với MN tại P, từ I kẻ IQ vuông góc với AN tại Q. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác APIQ là tứ giác nội tiếp.
b) PM.AI = MA.QI.
c) \(AM.BN + AN.BM \le 4{R^2}\)
Quảng cáo
a) Tứ giác APIQ là tứ giác nội tiếp.
Do \(IQ \bot AN\left( {gt} \right),AP \bot MN\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle APN = \angle AQI = {90^0}\)
Xét tứ giác AQIP có \(\angle API + \angle AQI = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AQIP nội tiếp (đhnb) (đpcm)
b) PM.AI = MA.QI.
Do tam giác APM vuông tại P nên \(\angle PAM + \angle AMP = {90^0}\)
Ta có \(\angle ANB = \angle AMB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle NAB + \angle ABN = {90^0}\)
Mà \(\angle ANM = \angle ABN\) (cùng chắn cung AN)
\( \Rightarrow \angle NAB = \angle MAP\) hay \(\angle QAI = \angle PAM\)
Xét \(\Delta AMP\) và \(\Delta AIQ\) có:
\(\angle QAI = \angle PAM\) (chứng minh trên)
\(\angle AQM = \angle AQI\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AMP \sim \Delta AIQ\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{PM}}{{IQ}} \Leftrightarrow AM.IQ = AI.PM\) (đpcm)
c) \(AM.BN + AN.BM \le 4{R^2}\)
Xét \(\Delta AMP\) và \(\Delta ABN\) có:
\(\angle APN = \angle ANB\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\angle MAP = \angle BAN\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \Delta AMP \sim \Delta ABN\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{MP}}{{BN}} \Rightarrow AM.BN = AB.MP\) (1)
Xét \(\Delta APN\) và \(\Delta AMB\) có:
\(\angle APN = \angle AMB\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\angle ANP = \angle ABM\) (cùng chắn cung AM)
\( \Rightarrow \Delta APN \sim \Delta AMB\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{PN}}{{MB}} \Rightarrow AN/MB = AB.PN\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM.BN + AN.BM = AB.MP + AB.PN\)
\( = AB\left( {MP + PN} \right) = AB.MN\)
Mà \(MN \le AB\) (quan hệ đường kính va dây cung)
\( \Rightarrow AB.MN \le AB.AB = 4{R^2}\)
Vậy \(AM.BN + AN.BM \le 4{R^2}\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
