Hai con lắc lò xo dao động trên hai đường thẳng song song, vị trí cân bằng của hai vật cùng

Câu hỏi số 661386:

Vận dụng cao

Hai con lắc lò xo dao động trên hai đường thẳng song song, vị trí cân bằng của hai vật cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với phương dao động. Con lắc thứ nhất có khối lượng \({m_1} = 100\,\,g\) dao động với phương trình \({x_1} = 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\,\,cm\), con lắc thứ hai có khối lượng \({m_2} = 200\,\,g\) dao động với phương trình \({x_2} = \cos \left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\,\,cm\). Tại thời điểm t = 1 s, người ta nhận thấy khoảng cách giữa 2 con lắc (xét theo phương dao động) là lớn nhất lần đầu tiên. Xét con lắc thứ ba có khối lượng \(m = {m_1} + {m_2}\) dao động với phương trình \({x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + {\left( {1 - {x_2}} \right)^3} - 10\,\,\left( {cm} \right)\). Cơ năng của con lắc thứ ba có giá trị là

A. 0,005 J.

B. 0,015 J.

C. 0,01 J.

D. 0,025 J.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:661386

Phương pháp giải

Khoảng cách giữa hai vật: \(d = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\)

Giải chi tiết

Xét hiệu: \(\Delta x = {x_2} - {x_1}\)

Ta có: \({x_2} = \cos \left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 2{\cos ^2}\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta x = 2{\cos ^2}\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1\\ \Rightarrow \Delta x = 2.{\left[ {\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1} \right]^2} - 3\end{array}\)

Khoảng cách giữa hai con lắc lớn nhất:

\(\begin{array}{l}{d_{\max }} = {\left| {\Delta x} \right|_{\max }} \Leftrightarrow \left[ {\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right]\max = 1\\ \Rightarrow \omega t + \dfrac{\pi }{6} = k2\pi \end{array}\)

Thời điểm đầu tiên khoảng cách giữa hai con lắc lớn nhất:

\(k = 1 \Rightarrow \omega .1 + \dfrac{\pi }{6} = 2\pi \Rightarrow \omega = \dfrac{{5\pi }}{6}\,\,\left( {rad/s} \right)\)

Mặt khác ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} = 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow \cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{{x_1}}}{4}\\ \Rightarrow {x_2} = 2{\cos ^2}\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1 = 2.{\left( {\dfrac{{{x_1}}}{4}} \right)^2} - 1 = \dfrac{{{x_1}^2}}{8} - 1\end{array}\)

Phương trình dao động của con lắc thứ ba là:

\(\begin{array}{l}{x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + {\left( {1 - {x_2}} \right)^3} - 10\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + {\left( {1 - \dfrac{{{x_1}^2}}{8} + 1} \right)^3} - 10\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + {\left( {2 - \dfrac{{{x_1}^2}}{8}} \right)^3} - 10\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + 8 - \dfrac{{3{x_1}^2}}{2} + \dfrac{{3{x_1}^4}}{{32}} - \dfrac{{{x_1}^6}}{{512}} - 10\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{{3{x_1}^4}}{{32}} - \dfrac{{3{x_1}^2}}{2} - 2 = \dfrac{3}{{32}}\left( {{x_1}^4 - 16{x_1}^2 + 64} \right) - 8\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{3}{{32}}{\left( {{x_1}^2 - 8} \right)^2} - 8\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1}^2 = {4^2}{\cos ^2}\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 8\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]\\ \Rightarrow {x_1}^2 - 8 = 8\cos \left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{3}{{32}}{.8^2}.{\cos ^2}\left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right) - 8\\ \Rightarrow {x_3} = 6{\cos ^2}\left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right) - 8\\ \Rightarrow {x_3} = 3\cos \left( {4\omega t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + 3 - 8\\ \Rightarrow {x_3} = 3\cos \left( {4\omega t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) - 5\end{array}\)

Cơ năng của con lắc thứ 3 là:

\(\begin{array}{l}W = \dfrac{1}{3}{m_3}{\omega _3}^2{A_3}^2\\ \Rightarrow W = \dfrac{1}{2}.\left( {0,1 + 0,2} \right).{\left( {4.\dfrac{{5\pi }}{6}} \right)^2}.0,{03^2}\\ \Rightarrow W \approx 0,015\,\,\left( J \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.