Hai con lắc lò xo dao động trên hai đường thẳng song song, vị trí cân bằng của hai vật cùng

Câu hỏi số 661386:

Vận dụng cao

Hai con lắc lò xo dao động trên hai đường thẳng song song, vị trí cân bằng của hai vật cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với phương dao động. Con lắc thứ nhất có khối lượng \({m_1} = 100\,\,g\) dao động với phương trình \({x_1} = 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\,\,cm\), con lắc thứ hai có khối lượng \({m_2} = 200\,\,g\) dao động với phương trình \({x_2} = \cos \left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\,\,cm\). Tại thời điểm t = 1 s, người ta nhận thấy khoảng cách giữa 2 con lắc (xét theo phương dao động) là lớn nhất lần đầu tiên. Xét con lắc thứ ba có khối lượng \(m = {m_1} + {m_2}\) dao động với phương trình \({x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + {\left( {1 - {x_2}} \right)^3} - 10\,\,\left( {cm} \right)\). Cơ năng của con lắc thứ ba có giá trị là

A. 0,005 J.

B. 0,015 J.

C. 0,01 J.

D. 0,025 J.

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Khoảng cách giữa hai vật: \(d = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\)

Giải chi tiết

Xét hiệu: \(\Delta x = {x_2} - {x_1}\)

Ta có: \({x_2} = \cos \left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 2{\cos ^2}\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta x = 2{\cos ^2}\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1\\ \Rightarrow \Delta x = 2.{\left[ {\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1} \right]^2} - 3\end{array}\)

Khoảng cách giữa hai con lắc lớn nhất:

\(\begin{array}{l}{d_{\max }} = {\left| {\Delta x} \right|_{\max }} \Leftrightarrow \left[ {\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right)} \right]\max = 1\\ \Rightarrow \omega t + \dfrac{\pi }{6} = k2\pi \end{array}\)

Thời điểm đầu tiên khoảng cách giữa hai con lắc lớn nhất:

\(k = 1 \Rightarrow \omega .1 + \dfrac{\pi }{6} = 2\pi \Rightarrow \omega = \dfrac{{5\pi }}{6}\,\,\left( {rad/s} \right)\)

Mặt khác ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} = 4\cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow \cos \left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{{x_1}}}{4}\\ \Rightarrow {x_2} = 2{\cos ^2}\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) - 1 = 2.{\left( {\dfrac{{{x_1}}}{4}} \right)^2} - 1 = \dfrac{{{x_1}^2}}{8} - 1\end{array}\)

Phương trình dao động của con lắc thứ ba là:

\(\begin{array}{l}{x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + {\left( {1 - {x_2}} \right)^3} - 10\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + {\left( {1 - \dfrac{{{x_1}^2}}{8} + 1} \right)^3} - 10\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + {\left( {2 - \dfrac{{{x_1}^2}}{8}} \right)^3} - 10\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{1}{{512}}{x_1}^6 + 8 - \dfrac{{3{x_1}^2}}{2} + \dfrac{{3{x_1}^4}}{{32}} - \dfrac{{{x_1}^6}}{{512}} - 10\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{{3{x_1}^4}}{{32}} - \dfrac{{3{x_1}^2}}{2} - 2 = \dfrac{3}{{32}}\left( {{x_1}^4 - 16{x_1}^2 + 64} \right) - 8\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{3}{{32}}{\left( {{x_1}^2 - 8} \right)^2} - 8\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1}^2 = {4^2}{\cos ^2}\left( {\omega t + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 8\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]\\ \Rightarrow {x_1}^2 - 8 = 8\cos \left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right)\\ \Rightarrow {x_3} = \dfrac{3}{{32}}{.8^2}.{\cos ^2}\left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right) - 8\\ \Rightarrow {x_3} = 6{\cos ^2}\left( {2\omega t + \dfrac{\pi }{3}} \right) - 8\\ \Rightarrow {x_3} = 3\cos \left( {4\omega t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + 3 - 8\\ \Rightarrow {x_3} = 3\cos \left( {4\omega t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) - 5\end{array}\)

Cơ năng của con lắc thứ 3 là:

\(\begin{array}{l}W = \dfrac{1}{3}{m_3}{\omega _3}^2{A_3}^2\\ \Rightarrow W = \dfrac{1}{2}.\left( {0,1 + 0,2} \right).{\left( {4.\dfrac{{5\pi }}{6}} \right)^2}.0,{03^2}\\ \Rightarrow W \approx 0,015\,\,\left( J \right)\end{array}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:661386

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.