Cho tam giác ABC vuông tại \(A\), đường cao A H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HB và HC.

Câu hỏi số 662413:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC vuông tại \(A\), đường cao A H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HB và HC. Kẻ MK vuông góc với AN tại \(K\), MK cắt AH tại I. Tính \(\dfrac{{AH}}{{AI}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:662413

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \({\rm{J}}\) là trung điểm của \({\rm{AH}}\).

Xét tam giác \({\rm{ABH}}\) và tam giác \({\rm{CAH}}\) có:

\(\angle AHB = \angle AHC = {90^^\circ }({\rm{ do }}AH \bot BC)\)

\(\angle ABH = \angle CAH\) (cùng phụ với \(\angle CAH\))

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{2AJ}} = \dfrac{{AC}}{{2CN}} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AJ}} = \dfrac{{AC}}{{CN}}\)

Xét tam giác \({\rm{ABJ}}\) và \({\rm{CAN}}\) có:

\(\angle BAJ = \angle ACN{\rm{ }}\)(cùng phụ với \(\angle HAC\))

\(\dfrac{{AB}}{{AJ}} = \dfrac{{AC}}{{CN}}(cmt){\rm{ }}\)

(Hai goc tương ứng)

Ta có \({\rm{MJ}}\) là đường trung bình của tam giác \({\rm{HAB}}\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow {\rm{MJ}}//{\rm{AB}}\) (tính chất đường trung bình)

\( \Rightarrow \angle ABJ = \angle BJM\) (so le trong)

Tương tự: \({\rm{JN}}\) là đường trung bình của tam giác \({\rm{AHC}}\) (định nghĩa)

\( \Rightarrow {\rm{JN}}//{\rm{AC}}\) (tính chất đường trung bình)

\( \Rightarrow \angle CAN = \angle ANJ\) (so le trong)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MJ//AB({\rm{cmt}})}\\{JN//AC({\rm{cmt}}) \Rightarrow MJ \bot JN \Rightarrow \angle MJN = {{90}^^\circ }}\\{AB \bot AC}\end{array}} \right.\)

Xét tứ giác \({\rm{MJKN}}\) có: \(\angle MJN = \angle MKN = {90^^\circ }\), mà hai đỉnh \({\rm{J}},{\rm{K}}\) kề nhau cùng nhìn \({\rm{MN}}\) dưới hai góc bằng nhau \( \Rightarrow {\rm{MJKN}}\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle ANJ = \angle JMK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{JK}}\) )

Từ (1), (2), (3), (4) \( \Rightarrow \angle BJM = \angle JMK\).

Mà 2 góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau \( \Rightarrow {\rm{BJ}}//{\rm{MK}}({\rm{dhnb}}) \Rightarrow {\rm{BJ}}//{\rm{MI}}\).

Xét tam giác \({\rm{BHJ}}\) có: \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{BH}},{\rm{BJ}}//{\rm{MI}}({\rm{cmt}})\)

\( \Rightarrow {\rm{I}}\) là trung điểm của \({\rm{JH}}\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow IH = \dfrac{1}{2}JH = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{4}AH\)

\( \Rightarrow AI = AH - IH = \dfrac{3}{4}AH \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AI}} = \dfrac{4}{3}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link