Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2,{\rm{AA'}} = 3\) (tham khảo hình bên).

Câu hỏi số 663342:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có \(AB = 1,BC = 2,{\rm{AA'}} = 3\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng

A. \( \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).

B. \( \dfrac{6}{7}\).

C. \( \dfrac{7}{6}\).

D. \( \dfrac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663342

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có

\(BC'//AD' \Rightarrow d\left( {AB',BC'} \right) = d\left( {BC',\left( {AB'D'} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {AB'D'} \right)} \right)\)

\( = \dfrac{{C'O'}}{{A'O'}}d\left( {A',\left( {AB'D'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'D'} \right)} \right)\)

Lại có \(A'B',A'A,A'D\) đôi một vuông góc với nhau tại \(A',d\left( {A',\left( {AB'D'} \right)} \right) = h\) thì \( \dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{A'{B^{{\rm{'}}2}}}} + \dfrac{1}{{A'{D^{{\rm{'}}2}}}} + \dfrac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} \Rightarrow h = \dfrac{6}{7}\).

Cách 2: Sử dụng tọa độ hóa

Chọn hệ trục \(Oxyz\) sao cho \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;2;0} \right)\)

(do \(BC = 2 \Rightarrow AD = 2),A'\left( {0;0;3} \right)\).

Ta có: \(B'\left( {1;0;3} \right);C'\left( {1;2;3} \right);\overrightarrow {BC'} \left( {0;2;3} \right);\overrightarrow {BD} \left( { - 1;2;0} \right)\)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) là khoảng cách giữa đường thẳng \(AB'\) và \(\left( {BC'D} \right)\) chứa \(BC'\) và song song với \(AB'\). Ta có \({d_{\left( {AB';BC'} \right)}} = {d_{\left. {\left( {AB';BC'D} \right)} \right)}} = {d_{\left. {\left( {A;BC'D} \right)} \right)}}\).

Mặt phẳng \(\left( {BC'D} \right)\) đi qua \(B\left( {1;0;0} \right)\) và nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC'} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 6; - 3;2} \right)\) làm VTPT có phương trình là \( - 6x - 3y + 2z + 6 = 0\).

\({d_{\left( {AB';BC'} \right)}} = {d_{\left. {\left( {AB';BC'D} \right)} \right)}} = {d_{\left. {\left( {A;BC'D} \right)} \right)}} = \dfrac{{\left| { - 6.0 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 6} \right|}}{{\sqrt {{{( - 6)}^2} + {{( - 3)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{6}{7}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.