Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + y} \right) + {\log _6}\left(

Câu hỏi số 663686:

Thông hiểu

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn

\({\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + y} \right) + {\log _6}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}y + {\log _6}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 8y} \right)\)

A. 12.

B. 6.

C. 4.

D. 5.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:663686

Phương pháp giải

- Biến đổi đưa về dạng \(f\left( t \right) \le 0\)

- Chứng minh hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(y > 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + y} \right) + {\log _6}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\log _3}y + {\log _6}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 8y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + {y^2} + y} \right) - {\log _3}y \le {\log _6}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 8y} \right) - {\log _6}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3} \dfrac{{{x^2} + {y^2} + y}}{y} \le {\log _6} \dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} + 8y}}{{{x^2} + {y^2}}}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( { \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{y} + 1} \right) \le {\log _6}\left( { \dfrac{{8y}}{{{x^2} + {y^2}}} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( { \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{y} + 1} \right) - {\log _6}\left( { \dfrac{{8y}}{{{x^2} + {y^2}}} + 2} \right) \le 0\end{array}\)

Đặt \(t = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{y} > 0\). Khi đó \({\log _3}\left( {t + 1} \right) - {\log _6}\left( { \dfrac{8}{t} + 2} \right) \le 0\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}\left( {t + 1} \right) - {\log _6}\left( { \dfrac{8}{t} + 2} \right),\,\,t > 0\)

\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{\left( {t + 1} \right)\ln 3}} + \dfrac{4}{{\left( {{t^2} + 4t} \right)\ln 4}} > 0,\,\,\forall t > 0\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Mà \(f\left( 4 \right) = 0 \Rightarrow f\left( t \right) \le f\left( 4 \right) \Rightarrow t \le 4\)

Suy ra \( \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{y} \le 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4y \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \le 4\)

Ta có: \({x^2} \ge 0,\,\,\forall x \Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \le 4 \Rightarrow - 2 \le y - 2 \le 2 \Rightarrow 0 \le y \le 4\)

Mà \(f\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow f\left( t \right) \le f\left( 2 \right) \Rightarrow t \le 2\)

Suy ra \(\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{y} \le 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \le 1\)

Ta có: \({x^2} \ge 0,\,\,\forall x \Rightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \le 1 \Rightarrow - 1 \le y - 1 \le 1 \Rightarrow 0 \le y \le 2\)

Mà \(y > 0,\,\,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {1;2} \right\}\)

Xét \(y = 1 \Rightarrow {x^2} \le 1 \Rightarrow x \in \left\{ { \pm 1;0} \right\}\). Có 3 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn

Xét \(y = 2 \Rightarrow x = 0\). Có 1 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn

Vậy có 4 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.