Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Đổi và chứng minh \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right)\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AM. Kẻ \(HK \bot SN\). Chứng minh \(HK \bot \left( {SAC} \right)\).
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính HK.
Gọi H là trung điểm của AB, vì tam giác SAB vuông cân tại S \( \Rightarrow SH \bot AB\).
Ta có \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Lại có: \(BH \cap \left( {SAC} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{HA}} = 2\)
\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right)\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AM.
Trong (SHN) kẻ \(HK \bot SN\) ta có:
+ Tam giác ABC đều nên \(HM \bot AC\).
+ HN là đường trung bình của tam giác ABM \( \Rightarrow HN//BM \Rightarrow HN \bot AC\).
+ \(\left. \begin{array}{l}AC \bot HN\\AC \bot SH\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow AC \bot HK\)
+ \(\left. \begin{array}{l}HK \bot AC\\HK \bot SN\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = HK\)
Tam giác SAB vuông cân tại S có SA = a nên \(SB = a,\,\,AB = a\sqrt 2 \), \(SH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt 2 \Rightarrow BM = \dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \( \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Xét tam giác vuông SHN vuông tại H, đường cao HK có:
\(HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{3{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{a\sqrt {56} }}{8}}} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\)
Vậy \(d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
