Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{30a + 24b + 21}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right) + {\log

Câu hỏi số 667177:

Vận dụng cao

Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{30a + 24b + 21}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right) + {\log _{{\rm{20a}}b + 1}}\left( {30a + 24b + 21} \right) = 2\). Giá trị của

\(a + b\) bằng

A. 20.

B. \(6\).

C. 7.

D. \(11\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:667177

Phương pháp giải

Đặt \(P = {\log _{30a + 24b + 21}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right) + {\log _{20ab + 1}}\left( {30a + 24b + 21} \right)\)

Chứng minh \(P \ge 2\sqrt {{{\log }_{20ab + 1}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right)} = 2 \Rightarrow {\log _{20ab + 1}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right) = 1\)

Giải chi tiết

Ta có: \(a > 0,b > 0\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}30a + 24b + 21 > 1\\20ab + 1 > 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{30a + 24b + 21}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right) > 0\\{\log _{20ab + 1}}\left( {30a + 24b + 21} \right) > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}P = {\log _{30a + 24b + 21}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right) + {\log _{20ab + 1}}\left( {30a + 24b + 21} \right)\\ \ge 2\sqrt {{{\log }_{30a + 24b + 21}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right).{{\log }_{20ab + 1}}\left( {30a + 24b + 21} \right)} \\ \Leftrightarrow P \ge 2\sqrt {{{\log }_{20ab + 1}}\left( {25{a^2} + 4{b^2} + 1} \right)} \end{array}\)

Mặt khác:

\(25{a^2} + 4{b^2} + 1 \ge 2\sqrt {100{a^2}{b^2}} + 1 = 20ab + 1 \Leftrightarrow P \ge 2\sqrt {{{\log }_{20ab + 1}}\left( {20ab + 1} \right)} = 2\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}25{a^2} = 4{b^2}\\20ab + 1 = 30a + 24b + 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.\)

Do đó \(a + b = 7\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.