Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạch bên và mặt đáy bằng a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Hình học không gian

Câu hỏi số 66871:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạch bên và mặt đáy bằng $60^{0}.$

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:66871

Giải chi tiết

a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO vuông góc với (ABCD) và SO là trục của hình vuông ABCD.

=>OA là hình chiếu của SA lên (ABCD)

=> $\widehat{(SA,(ABCD))}=\widehat{(SA,OA)}=\widehat{SAO}=60^{\circ}$

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên OA = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

và $S_{ABCD}= a^{2}$

Xét tam giác SAO có: SO = OA.tan60 = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Do đó: V= $\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.a^{2}=\frac{a^{3}\sqrt{6}}{6}$

b) Gọi M là trung điểm của SA. Trong (SAC), dựng đường thẳng d qua M, vuông góc SA và cắt SO tại I.

Do d là trung trực của SA và SO là trục của đáy nên:

I= $d\cap SO$ =>IA=IB=IC=ID=IS

=>I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Xét $\Delta SAO$ ta được: $SA=\frac{OA}{cos60^{\circ}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.2=a\sqrt{2}\Rightarrow SM=\frac{a\sqrt{2}}2{}$

$\Delta SMI\sim \Delta SOA\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SM}{SO}\Rightarrow SI=\frac{SM}{SO}.SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2}{a\sqrt{6}}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$ Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R=SI= $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.