Cho tứ giác \({\rm{ABCD}}\) có \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) cắt nhau tại \({\rm{O}}\). Qua O, kẻ đường

Câu hỏi số 668744:

Vận dụng

Cho tứ giác \({\rm{ABCD}}\) có \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\) cắt nhau tại \({\rm{O}}\). Qua O, kẻ đường thẳng song song với \({\rm{BC}}\) cắt \({\rm{AB}}\) tại \({\rm{E}}\), kẻ đường thẳng song song với \({\rm{CD}}\) cắt \({\rm{AD}}\) tại \({\rm{F}}\).

a) Chứng minh FE // BD;

b) Từ \({\rm{O}}\) kẻ đường thẳng song song với \({\rm{AB}}\) cắt \({\rm{BC}}\) tại \({\rm{G}}\) và đường thẳng song song với \({\rm{AD}}\) cắt \({\rm{CD}}\) tại \({\rm{H}}\). Chứng minh rằng \({\rm{CG}}{\rm{.DH}} = {\rm{BG}}{\rm{.CH}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:668744

Phương pháp giải

Định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Định lí Thales đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ADC\) có \(OF//DC\), theo định lí Thales \( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}(1)\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(OE//BC\), theo định lí Thales \( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}(2)\)

Từ \((1),(2)\)\( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\)

Theo định lí Thales đảo trong \(\Delta ADB\) có:\(\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) \( \Rightarrow EF//BD\) (dpcm)

b) Xét \(\Delta ADC\)có \(OH//AD\), theo định lí Thales \( \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{CD}} = \dfrac{{CO}}{{AC}}{\rm{ (3) }}\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(OG//AB\), theo định lí Thales \( \Rightarrow \dfrac{{CG}}{{BC}} = \dfrac{{CO}}{{AC}}(4)\) (4)

Từ \((3),(4) \Rightarrow \)\(\dfrac{{CH}}{{CD}} = \dfrac{{CG}}{{BC}}\)

Theo định lí Thales đảo suy ra \(GH//BD\).

Xét \(\Delta BCD\)có \(GH//BD\), theo định lí Thales \( \Rightarrow \dfrac{{CH}}{{DH}} = \dfrac{{CG}}{{BG}}\)

\( \Rightarrow CH.BG = DH.CG{\rm{ (dpcm)}}{\rm{. }}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link