Cho \(a,b\) là số thực dương thỏa mãn \({2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\). Giá trị nhỏ

Câu hỏi số 669381:

Vận dụng cao

Cho \(a,b\) là số thực dương thỏa mãn \({2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + 3\left( {a + b} \right) + 1\) có dạng \(m + \sqrt n \). Tính \(S = {m^2} + n\).

A. \(S = 22\).

B. \(S = 19\).

C. \(S = 20\).

D. \(S = 21\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669381

Phương pháp giải

Giải chi tiết

\({2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\left( 1 \right)\) Điều kiện \(ab < 1\).

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{2^{a + b + 2ab - 3}}} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow a + b + 2ab - 3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 - ab} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {a + b} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a + b} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {a + b} \right) = 1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 - ab} \right) + \left( {2 - 2ab} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a + b} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {a + b} \right) = \left( {2 - 2ab} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2 - 2ab} \right)\)

Xét hàm số đặt trưng \(f\left( t \right) = t + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t\) với \(t > 0\), ta có:

\(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{t{\rm{ln}}2}},\forall t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( {a + b} \right) = f\left( {2 - 2ab} \right) \Leftrightarrow a + b = 2 - 2ab\).

Để có \(a,b\) thỏa yêu cầu bài toán thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a + b)}^2} - 4ab \ge 0}\\{0 < ab < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(2 - 2ab)}^2} - 4ab \ge 0}\\{0 < ab < 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2}{b^2} - 3ab + 1 \ge 0}\\{0 < ab < 1}\end{array} \Leftrightarrow 0 < ab \le \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right.} \right.} \right.\)

Ta có:\(T = {a^2} + {b^2} + 3\left( {a + b} \right) + 1 = {(a + b)^2} - 2ab + 3\left( {2 - 2ab} \right) + 1 = {(2 - 2ab)^2} - 2ab + 3\left( {2 - 2ab} \right) + 1\)

\( = 4{a^2}{b^2} - 16ab + 11\)

Lập bảng biến thiên tìm được \({\rm{min}}P = 1 + 2\sqrt 5 = 1 + \sqrt {20} \) khi \(ab = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\)

Vậy \(m = 1,n = 20 \Rightarrow {m^2} + n = 21\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.