Cho \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}12 = a;{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{12}}24 = b\). và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 = \dfrac{{mab +

Câu hỏi số 669380:

Vận dụng

Cho \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}12 = a;{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{12}}24 = b\). và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 = \dfrac{{mab + 1}}{{nab + pa}}\), trong đó \(m,n,p\) là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(S = m + n + p\).

A. \(S = 6\).

B. \(S = 4\).

C. \(S = 14\).

D. \(S = 8\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:669380

Phương pháp giải

Chuyển \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168\) về \(a,b\).

Giải chi tiết

Do \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}12 = a;{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{12}}24 = b \Rightarrow a;b > 0\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}12 = a \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{2^2} \cdot 3} \right) = a \Leftrightarrow 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 = a\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{12}}24 = b \Leftrightarrow \dfrac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}24}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}12}} = b \Leftrightarrow \dfrac{{3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3}}{a} = b \Leftrightarrow 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 = ab\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 = a}\\{3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 = ab}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 = ab - a}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 = 3a - 2ab}\end{array}} \right.} \right.\)

Mặt khác: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 = \dfrac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}168}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}54}} = \dfrac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{2^3} \cdot 3 \cdot 7} \right)}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}\left( {{{2.3}^3}} \right)}} = \dfrac{{3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3 + 1}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}2 + 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3}}\)

\( \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 = \dfrac{{3\left( {ab - a} \right) + 3a - 2ab + 1}}{{ab - a + 3\left( {3a - 2ab} \right)}} = \dfrac{{3ab - 3a + 3a - 2ab + 1}}{{ab - a + 9a - 6ab}} = \dfrac{{ab + 1}}{{8a - 5ab}} = \dfrac{{ab + 1}}{{a\left( {8 - 5b} \right)}}\)

Vậy \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{54}}168 = \dfrac{{ab + 1}}{{a\left( {8 - 5b} \right)}} = \dfrac{{ab + 1}}{{ - 5ab + 8a}}\). Suy ra \(m = 1,n = - 5,p = 8 \Rightarrow S = m + n + p = 4\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.