Chứng minh \({n^3} + 3{n^2} + 5n:3\) (1) với mọi \(n \in {N^*}\) và \(n \ge 1\)

Câu hỏi số 670966:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670966

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\) (\(k \ge 1\)) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với \(n = 1\) ta có \(VT = {1^3} + {3.1^2} + 5.1 = 9:3\)

Suy ra (1) đúng với \(n = 1\)

Giả sử (1) đúng với \(n = k(k \ge 1) \Rightarrow {k^3} + 3{k^2} + 5k:3\)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là \({(k + 1)^3} + 3{(k + 1)^2} + 5(k + 1):3\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} + 3{(k + 1)^2} + 5(k + 1)\\ = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 3{(k + 1)^2} + 5k + 5\\ = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right) + 3{(k + 1)^2} + 3k + 6\end{array}\)

Theo giả thiết quy nạp \({k^3} + 3{k^2} + 5k:3\) mà \(3{(k + 1)^2} \vdots 3;\,\,\,3k + 6 \vdots 3\)

Suy ra \({(k + 1)^3} + 3{(k + 1)^2} + 5(k + 1):3\)

Vậy \({n^3} + 3{n^2} + 5n:3\) (1) với mọi \(n \in {N^*}\) và \(n \ge 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link