Chứng minh \({2^n} > 2n + 1(1)\) luôn đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\)

Câu hỏi số 670965:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670965

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\) ( \(k \ge 1\) ) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với \(n = 3\) ta có \({2^3} = 8 > 2.3 + 1 = 7\)

Suy ra (1) đúng với \(n = 3\)

Giả sử (1) đúng với \(n = k(k \ge 3) \Rightarrow {2^k} > 2k + 1\) (*)

Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là \({2^{k + 1}} > 2(k + 1) + 1\)

Nhân cả 2 vế của (*) với 2 ta có:

\(\begin{array}{l}{2.2^k} > 2.2k + 2\\ \Leftrightarrow {2^{k + 1}} > 2(k + 1) + 1 + 2k + 1\end{array}\)

Vì \(k \ge 3\) nên \(2k \ge 6 \Rightarrow 2k + 1 > 0\)\( \Rightarrow {2^{k + 1}} > 2(k + 1) + 1\)

Vậy \({2^n} > 2n + 1(1)\) luôn đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link