Chứng minh \({n^3} + 11n\) chia hết cho 6 (1) với mọi \(n\) nguyên dương

Câu hỏi số 670967:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670967

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\) ( \(k \ge 1\) ) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với \(n = 1\), ta có: \({1^3} + 11.1 = 12 \vdots 6\)

Suy ra (1) đúng với \(n = 1\).

Giả sử (1) đúng với \(n = k(k \ge 1)\), tức là: \({k^3} + 11k \vdots 6\)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là \({({\rm{k}} + 1)^3} + 11({\rm{k}} + 1) \vdots 6\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} + 11(k + 1)\\ = {k^3} + 3k(k + 1) + 1 + 11k + 11\\ = {k^3} + 11k + 3k(k + 1) + 12\end{array}\)

Theo giả thiết quy nạp \(\left( {{k^3} + 11k} \right) \vdots 6\) mà \(3k(k + 1) \vdots 6,\,\,\,12 \vdots 6\)

Suy ra \({({\rm{k}} + 1)^3} + 11({\rm{k}} + 1) \vdots 6\)

Vậy \({n^3} + 11n\) chia hết cho 6 (1) với mọi \(n\) nguyên dương

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link