Chứng minh rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({4.6^n} + {5^n} - 4\) chia hết cho 5 (1)

Câu hỏi số 670968:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670968

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\) ( \(k \ge 1\) ) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với \({\rm{n}} = 1\), ta có \({4.6^1} + {5^1} - 4 = 25 \vdots 5\).

Suy ra mệnh đề đúng với \(n = 1\).

Giả sử (1) đúng với \(n = k(k \ge 1)\), tức là: \(\left( {{{4.6}^k} + {5^k} - 4} \right) \vdots 5\).

Ta cần chứng minh (1) đúng khi \(n = k + 1\), tức là \(\left( {{{4.6}^{k + 1}} + {5^{k + 1}} - 4} \right) \vdots 5\).

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}{4.6^{k + 1}} + {5^{k + 1}} - 4\\ = {4.6^k}.6 + {5^k}.5 - 4 = {24.6^k} + {5.5^k} - 4\\ = 6\left( {{{4.6}^k} + {5^k} - 4} \right) - {5^k} + 20\end{array}\)

Theo giải thiết quy nạp \(\left( {{{4.6}^k} + {5^k} - 4} \right) \vdots 5\) mà \({5^k} \vdots 5,\,\,\,20 \vdots 5\)

Suy ra \(\left( {{{4.6}^{k + 1}} + {5^{k + 1}} - 4} \right) \vdots 5\)

Vậy mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì \({4.6^n} + {5^n} - 4\) chia hết cho 5 (1)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link