Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \({\rm{n}}\), ta có:\(1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + n(n

Câu hỏi số 670969:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \({\rm{n}}\), ta có:

\(1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + n(n + 1) = \dfrac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\) (*)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670969

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\) ( \(k \ge 1\) ) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với n = 1, ta có \(VT = 1(1 + 1) = 2;VP = \dfrac{{1(1 + 1)(1 + 2)}}{3} = 2\)

Suy ra (*) đúng với n = 1

Giả sử (*) đúng với \(n = k(k \ge 1)\), tức là \(1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + k(k + 1) = \dfrac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}\)

Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là:

\(1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \dfrac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\)

Theo giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3} + (k + 1)(k + 2)\\ = (k + 1)(k + 2).\dfrac{{k + 3}}{3}\\ = \dfrac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3} = VP\end{array}\)

Vậy \(1.2 + 2.3 + 3.4 + \cdots + n(n + 1) = \dfrac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\) với mọi số nguyên dương n

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link