Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \({\rm{n}}\), ta có:\({1^3} + {2^3} + {3^3} + \ldots

Câu hỏi số 670970:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \({\rm{n}}\), ta có:

\({1^3} + {2^3} + {3^3} + \ldots + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}\) (1)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670970

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\) ( \(k \ge 1\) ) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với \(n = 1\) thì \(VT = {1^3} = 1;VP = \dfrac{{{1^2}{{(1 + 1)}^2}}}{4}\)

Suy ra (1) đúng với \(n = 1\).

Giả sử (1) đúng với \({\rm{n}} = {\rm{k(k}} \ge 1)\), tức là: \({1^3} + {2^3} + {3^3} + \ldots + {k^3} = \dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}\)

Tức là cần chứng minh (1) đúng với \({\rm{n}} = {\rm{k}} + 1\), tức là

\({1^3} + {2^3} + {3^3} + \ldots + {k^3} + {(k + 1)^3}\)\( = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{{[(k + 1) + 1]}^2}}}{4}\)\( = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}\)

Theo giải thiết quy nạp ta có:

\(VT = \dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3}\)\( = \dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2} + 4{{(k + 1)}^3}}}{4}\)

\( = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}\left[ {{k^2} + 4(k + 1)} \right]}}{4}\) \( = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\)

\( = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4} = VP\)

Vậy \({1^3} + {2^3} + {3^3} + \ldots + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link