Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có \({n^n} \ge {(n + 1)^{n - 1}}\)

Câu hỏi số 670971:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670971

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\) ( \(k \ge 1\) ) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với n = 1, ta có: \({1^1} \ge {(1 + 1)^{1 - 1}} \Leftrightarrow 1 \ge 1\) (luôn đúng)

Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với \({\rm{n}} = {\rm{k(k}} \ge 1)\), tức là ta có:

\({k^k} \ge {(k + 1)^{k - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{{k^k}}}{{{{(k + 1)}^{k - 1}}}} \ge 1\)

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với \({\rm{n}} = {\rm{k}} + 1\), tức là:

\({({\rm{k}} + 1)^{{\rm{k}} + 1}} \ge {[({\rm{k}} + 1) + 1]^{({\rm{k}} + 1) - 1}} \Leftrightarrow {({\rm{k}} + 1)^{{\rm{k}} + 1}} \ge {({\rm{k}} + 2)^{\rm{k}}}{\rm{. }}\)

Thật vậy, với mọi số dương k ta có:

\(\begin{array}{l}{k^2} + 2k + 1 > {k^2} + 2k\\ \Leftrightarrow {(k + 1)^2} > k(k + 2)\\ \Leftrightarrow {(k + 1)^{2k}} > {[k(k + 2)]^k}\\ \Leftrightarrow {(k + 1)^{k + 1}}.{(k + 1)^{k - 1}} > {k^k}.{(k + 2)^k}\\ \Rightarrow \dfrac{{{{(k + 1)}^{k + 1}}}}{{{{(k + 2)}^k}}} > \dfrac{{{k^k}}}{{{{(k + 1)}^{k - 1}}}} \ge 1 \Rightarrow {(k + 1)^{k + 1}} \ge {(k + 2)^k}\end{array}\)

Vậy \({n^n} \ge {(n + 1)^{n - 1}}\) với mọi số nguyên dương n.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link