Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n \ge 4\), ta có: \({3^{{\rm{n}} - 1}} > {\rm{n}}({\rm{n}} +

Câu hỏi số 670972:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n \ge 4\), ta có: \({3^{{\rm{n}} - 1}} > {\rm{n}}({\rm{n}} + 2)\) (*)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670972

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\)(\(k \ge 1\)) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với n = 4, ta có \({3^{4 - 1}} > 4(4 + 2) \Leftrightarrow 27 > 24\) (luôn đúng)

Giả sử (*) đúng với \(n = k(k \ge 4)\), tức là \({3^{k - 1}} > k(k + 2)\) (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là

\({3^{k + 1 - 1}} > (k + 1)(k + 1 + 2) \Leftrightarrow {3^k} > (k + 1)(k + 3)\)

Thật vậy, nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 3 ta được:

\({3.3^{k - 1}} > 3k(k + 2) \Leftrightarrow {3^k} > {k^2} + 4k + 3 + 2{k^2} + 2k - 3(2)\)

Ta có \(2{k^2} + 2k - 3 = 2k(k - 4) + 10(k - 4) + 37\)

Mà \(k \ge 4\) nên \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\).

Khi đó từ (2) suy ra: \({3^k} > {k^2} + 4k + 3 \Leftrightarrow {3^k} > (k + 1)(k + 2).\)

Vậy với mọi số nguyên dương \(n \ge 4\), ta có: \({3^{{\rm{n}} - 1}} > {\rm{n}}({\rm{n}} + 2)\)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link