Cho \(n\) số thực \({x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_n} \in (0;1)\). Chứng minh rằng \((\forall n \ge 2)\) ta

Câu hỏi số 670973:

Vận dụng

Cho \(n\) số thực \({x_1},{x_2},{x_3}, \ldots ,{x_n} \in (0;1)\). Chứng minh rằng \((\forall n \ge 2)\) ta có:

\(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_n}} \right) > 1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_n}\) (*)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:670973

Phương pháp giải

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k\) ( \(k \ge 1\) ) (gọi là giả thiết quy nạp).

- Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\). Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phưong pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Với \(n = 2:\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) = 1 - {x_1} - {x_2} + {x_1}{x_2} > 1 - {x_1} - {x_2}\) (Đúng)

Giả sử (*) đúng với \(n = k(k \ge 2)\), tức là:

\(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_k}} \right) > 1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_k}\) (1)

Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh:

\(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_k}} \right)\left( {1 - {x_{k + 1}}} \right) > 1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_k} - {x_{k + 1}}\)

Theo giả thiết quy nạp ta có:

\(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_k}} \right) > 1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_k}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_k}} \right)\left( {1 - {x_{k + 1}}} \right) > \left( {1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_k}} \right)\left( {1 - {x_{k + 1}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_k}} \right)\left( {1 - {x_{k + 1}}} \right) > \left( {1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_k}} \right) - {x_{k + 1}}\left( {1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_k}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_k}} \right)\left( {1 - {x_{k + 1}}} \right) > 1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_{k + 1}} + \left( {{x_1}{x_{k + 1}} + {x_2}{x_{k + 1}} + \ldots + {x_k}{x_{k + 1}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_k}} \right)\left( {1 - {x_{k + 1}}} \right) > 1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_{k + 1}}\end{array}\)

Vậy \(\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) \ldots \left( {1 - {x_n}} \right) > 1 - {x_1} - {x_2} - \ldots - {x_n}\quad (\forall n \ge 2)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link