Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho ứng với mỗi số nguyên \(y\) có đúng 5 số nguyên

Câu hỏi số 671020:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho ứng với mỗi số nguyên \(y\) có đúng 5 số nguyên \(x\) thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 3} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left| {2y - 8x} \right| + 2{\left( {{x^2} + 2} \right)^2} - \left| {4{x^3} - y + x\left( {4 - xy} \right)} \right| < 0\) ?

A. 12 .

B. 18 .

C. 10 .

D. 20 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671020

Phương pháp giải

Đưa về hàm đặc trưng

Giải chi tiết

Ta có:

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 3} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left| {2y - 8x} \right| + 2{\left( {{x^2} + 2} \right)^2} - \left| {4{x^3} - y + x\left( {4 - xy} \right)} \right| < 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 3} \right) + 2{\left( {{x^2} + 2} \right)^2} < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left| {8x - 2y} \right| + \left( {{x^2} + 1} \right)\left| {4x - y} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 3} \right) + 2\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) + 2 < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left| {8x - 2y} \right| + \left( {{x^2} + 1} \right)\left| {4x - y} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}4\left( {{x^2} + 3} \right) + 2\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left| {8x - 2y} \right| + \left( {{x^2} + 1} \right)\left| {4x - y} \right|\)

Xét \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2t} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)t\)

\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t{\rm{ln}}2}} + {x^2} + 1\left\langle {0,\forall t} \right\rangle 0\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Suy ra \(2\left( {{x^2} + 3} \right) < \left| {4x - y} \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x - y > 2{x^2} + 6}\\{4x - y < - 2{x^2} - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y < - 2{x^2} + 4x - 6 = {f_1}\left( x \right)}\\{y > 2{x^2} + 4x + 6 = {f_2}\left( x \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có: \(f_1^{\rm{'}}\left( x \right) = - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy để với \(y\) có đúng 5 nghiệm nguyên \(x\) thì \({f_1}\left( 4 \right) \le y < {f_1}\left( 3 \right) \Leftrightarrow - 22 \le y < - 12\)

Ta có: \(f_2^{\rm{'}}\left( x \right) = 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)

Vậy để với \(y\) có đúng 5 nghiệm nguyên \(x\) thì \({f_2}\left( { - 3} \right) < y \le {f_2}\left( { - 4} \right) \Leftrightarrow 12 < y \le 22\)

Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên có 20 giá trị thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.