Với hai số thực \(a,b\) bất kì, ta kí hiệu \({f_{\left( {a,b} \right)}}\left( x \right) = \left| {x - a}
Với hai số thực \(a,b\) bất kì, ta kí hiệu \({f_{\left( {a,b} \right)}}\left( x \right) = \left| {x - a} \right| + \left| {x - b} \right| + \left| {x - 2\left| + \right|x - 3} \right|\). Biết rằng luôn tồn tại duy nhất số thực \({x_0}\) để \({\min _{x \in R}}{f_{(a,b)}}(x) = {f_{(a,b)}}\left( {{x_0}} \right)\) với mọi số thực \(a,b\) thỏa mãn \({a^b} = {b^a}\) và \(0 < a < b\). Số \({x_0}\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có \({a^b} = {b^a} \Leftrightarrow b{\rm{ln}}a = a{\rm{ln}}b \Leftrightarrow \dfrac{{{\rm{ln}}a}}{a} = \dfrac{{{\rm{ln}}b}}{b}\left( {\rm{*}} \right)\).
Xét hàm số \(y = \dfrac{{{\rm{ln}}x}}{x}\), trên tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
\(y' = \dfrac{{1 - {\rm{ln}}x}}{{{x^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = e\)
Bảng biến thiên
Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < a < b}\\{f\left( a \right) = f\left( b \right)}\end{array}} \right.\)
Kết hợp với bảng biến thiên suy ra \(a < e < b\left( 1 \right)\).
Ta lại có \({f_{\left( {a,b} \right)}}\left( x \right) = \left| {x - a} \right| + \left| {b - x} \right| + \left| {x - 2\left| + \right|3 - x\left| \ge \right|x - a + b - x\left| + \right|x - 2 + 3 - x} \right| = b - a + 1\).
Suy ra \({\min _{x \in \mathbb{R}}}{f_{(a,b)}}(x) = b - a + 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \le x \le b}\\{2 \le x \le 3}\end{array}(2)} \right.\)
Từ (1) và (2) suy ra số thực duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(x = e\)
Thủ lại: khi \(x = e\) thì \(f\left( e \right) = b - a + 1\).
Vậy \({\min _{x \in R}}{f_{(a,b)}}(x) = {f_{(a,b)}}\left( {{x_0}} \right) = {f_{(a,b)}}(e)\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
