Cho ba số \(a,b,c \in (0;1)\). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là

Câu hỏi số 671054:

Thông hiểu

Cho ba số \(a,b,c \in (0;1)\). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai: \(a(1 - b) > \dfrac{1}{4}(1),\,\,\,b(1 - c) > \dfrac{1}{4}(2),\,\,\,c(1 - a) > \dfrac{1}{4}(3)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671054

Phương pháp giải

- Bước 1 (phủ định kết luận): Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.

- Bước 2 (đi đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử trên và từ giả thiết của bài toà ta suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hay với các kiến thức đã học.

- Bước 3 (khẳng định kết luân): Vậy kết luân của bài toán là đúng.

Giải chi tiết

Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng.

Theo giả thiết \(a,b,c,1 - a,1 - b,1 - \) c đều là số dương suy ra

\(a(1 - a)b(1 - b)c(1 - c) > \dfrac{1}{{64}}\)

Mặt khác: \(a(1 - a) = a - {a^2} = - \left( {{a^2} - 2a \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} - {\left( {\dfrac{1}{2} - a} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}\)

Tương tự: \(b(1 - b) \le \dfrac{1}{4};c(1 - c) \le \dfrac{1}{4}\)

Suy ra \(a(1 - b)b(1 - c)c(1 - a) \le \dfrac{1}{{64}}\)(mâu thuẫn với giả thiết)

Suy ra giả sử sai.

Vậy với ba số \(a,b,c \in (0;1)\) có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai: \(a(1 - b) > \dfrac{1}{4}(1),\,\,\,b(1 - c) > \dfrac{1}{4}(2),\,\,\,c(1 - a) > \dfrac{1}{4}(3)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link