Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh rằng:Nếu \(a + b + c > \dfrac{1}{a} +

Câu hỏi số 671056:

Vận dụng

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng minh rằng:

Nếu \(a + b + c > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) thì có một và chỉ một trong ba số a, b, c lớn hơn 1 .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671056

Phương pháp giải

- Bước 1 (phủ định kết luận): Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.

- Bước 2 (đi đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử trên và từ giả thiết của bài toà ta suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hay với các kiến thức đã học.

- Bước 3 (khẳng định kết luân): Vậy kết luân của bài toán là đúng.

Giải chi tiết

Ta có các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Giả sử ba số a, b, c đều lớn hơn 1 hoặc ba số a, b, c đều nhỏ hơn 1 thì mâu thuẫn với giả thiết \(abc = 1\).

+ Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số a, b, c lớn hơn 1.

Không mất tính tổng quát giả sử \(a > 1,b > 1\).

Vì \(abc = 1\) nên \(c < 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 > 0\\b - 1 > 0\\c - 1 < 0\end{array} \right. \Rightarrow (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0\\ \Leftrightarrow abc + a + b + c - ab - bc - ca - 1 < 0\\ \Leftrightarrow a + b + c < ab + bc + ca\\ \Leftrightarrow a + b + c < (abc)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow a + b + c < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy \(a + b + c > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\) thì có một và chỉ một trong ba số a, b, c lớn hơn 1 .

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link