Cho \(\dfrac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\) và \(\dfrac{{\rm{c}}}{{\rm{d}}}\) là các phân số tối giản với b khác

Câu hỏi số 671060:

Vận dụng

Cho \(\dfrac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\) và \(\dfrac{{\rm{c}}}{{\rm{d}}}\) là các phân số tối giản với b khác \({\rm{d}}\). Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\) không thể là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671060

Phương pháp giải

- Bước 1 (phủ định kết luận): Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.

- Bước 2 (đi đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử trên và từ giả thiết của bài toà ta suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hay với các kiến thức đã học.

- Bước 3 (khẳng định kết luân): Vậy kết luân của bài toán là đúng.

Giải chi tiết

Giả sử \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\) là số nguyên, tức là \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \in Z\)

Hay \(\dfrac{{ad + bc}}{{bd}} \in Z\). Suy ra \(ad + bc \vdots bd\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ad + bc \vdots b\\ad + bc \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ad \vdots b\\bc \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \vdots b\\b \vdots b\end{array} \right.\) (vì \(\dfrac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\) và \(\dfrac{{\rm{c}}}{{\rm{d}}}\) là các phân số tối giản)

\( \Rightarrow b = d\) (mẫu thuẫn với giả thiết)

Suy ra điều giả sử sai.

Vậy \(\dfrac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\) và \(\dfrac{{\rm{c}}}{{\rm{d}}}\) là các phân số tối giản với b khác \({\rm{d}}\) thì \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\) không thể là số nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link