Giải phương trình: \(8{x^2} - 13x + 11 = \dfrac{2}{x} + \left( {1 + \dfrac{3}{x}} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} -

Câu hỏi số 671638:

Vận dụng cao

Giải phương trình: \(8{x^2} - 13x + 11 = \dfrac{2}{x} + \left( {1 + \dfrac{3}{x}} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:671638

Phương pháp giải

Quy đồng, biến đổi, nhóm tạo hằng đẳng thức \({(a - b)^3}\)

Đặt ẩn phụ, giải hệ phương trình.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}8{x^2} - 13x + 11 = \dfrac{2}{x} + \left( {1 + \dfrac{3}{x}} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 13{x^2} + 11x - 2 = \left( {x + 3} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - {x^2} + 5x - 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 6x - 3 + {x^2} - 5x + 1}}\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^3} - \left( {{x^2} - 5x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x + 1}}\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x - 1\\v = \sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x + 1}}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u^3} - \left( {{x^2} - 5x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)v\\{v^3} = u\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^3} - \left( {{x^2} - 5x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)v\,\,\,\left( 3 \right)\\{v^3} - \left( {{x^2} - 5x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)u\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ 2 vế của (3) cho (4) ta được:

\(\begin{array}{l}{u^3} - {v^3} = \left( {x + 3} \right)\left( {v - u} \right)\\ \Leftrightarrow {u^3} - {v^3} + \left( {u - v} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {{u^2} + uv + {v^2}} \right) + \left( {u - v} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {{u^2} + uv + {v^2} + x + 3} \right) = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \({u^2} + uv + {v^2} + x + 3 = {\left( {v + \dfrac{u}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{u^2}}}{4} + x + 3 \ge \dfrac{{3{u^2}}}{4} + x + 3\)

\( = \dfrac{3}{4}{\left( {2x - 1} \right)^2} + x + 3 = 3{x^2} - 3x + \dfrac{3}{4} + x + 3 = 3{x^2} - 2x + \dfrac{{15}}{4} = 3{\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{{41}}{{12}} > 0\,\,\forall x\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \) \(u = v\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2x - 1 = \sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x + 1}}\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = \sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 = 3{x^2} - 2\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 15{x^2} + 6x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 16{x^2} + 8x + {x^2} - 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = - 1\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{8}\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{8};1} \right\}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link