Giải phương trình: \(8{x^2} - 13x + 11 = \dfrac{2}{x} + \left( {1 + \dfrac{3}{x}} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} -

Câu hỏi số 671638:

Vận dụng cao

Giải phương trình: \(8{x^2} - 13x + 11 = \dfrac{2}{x} + \left( {1 + \dfrac{3}{x}} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\)

Phương pháp giải

Quy đồng, biến đổi, nhóm tạo hằng đẳng thức \({(a - b)^3}\)

Đặt ẩn phụ, giải hệ phương trình.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}8{x^2} - 13x + 11 = \dfrac{2}{x} + \left( {1 + \dfrac{3}{x}} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 13{x^2} + 11x - 2 = \left( {x + 3} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - {x^2} + 5x - 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt[3]{{2{x^2} - x + 6x - 3 + {x^2} - 5x + 1}}\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^3} - \left( {{x^2} - 5x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)\sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x + 1}}\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x - 1\\v = \sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x + 1}}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u^3} - \left( {{x^2} - 5x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)v\\{v^3} = u\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^3} - \left( {{x^2} - 5x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)v\,\,\,\left( 3 \right)\\{v^3} - \left( {{x^2} - 5x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)u\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ 2 vế của (3) cho (4) ta được:

\(\begin{array}{l}{u^3} - {v^3} = \left( {x + 3} \right)\left( {v - u} \right)\\ \Leftrightarrow {u^3} - {v^3} + \left( {u - v} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {{u^2} + uv + {v^2}} \right) + \left( {u - v} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {{u^2} + uv + {v^2} + x + 3} \right) = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \({u^2} + uv + {v^2} + x + 3 = {\left( {v + \dfrac{u}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{u^2}}}{4} + x + 3 \ge \dfrac{{3{u^2}}}{4} + x + 3\)

\( = \dfrac{3}{4}{\left( {2x - 1} \right)^2} + x + 3 = 3{x^2} - 3x + \dfrac{3}{4} + x + 3 = 3{x^2} - 2x + \dfrac{{15}}{4} = 3{\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^2} + \dfrac{{41}}{{12}} > 0\,\,\forall x\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \) \(u = v\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2x - 1 = \sqrt[3]{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x + 1}}\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = \sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 = 3{x^2} - 2\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 15{x^2} + 6x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 16{x^2} + 8x + {x^2} - 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = - 1\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{8}\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{8};1} \right\}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:671638

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.