Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục và \(f\left( x \right) > 0\) trên đoạn \(\left[

Câu hỏi số 675426:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục và \(f\left( x \right) > 0\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) đồng thời thoả mãn \(f'\left( 0 \right) = 1\), \(f\left( 0 \right) = 2\) và \(f\left( x \right).f''\left( x \right) + {\left[ {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{x + 2}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\). Tính \({f^2}\left( 1 \right) + {f^2}\left( 2 \right)\).

A. \(10\).

B. \(15\).

C. \(20\).

D. \(25\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675426

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm của một thương: \(\left[ {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' = \dfrac{{f\left( x \right).f''\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}}\).

Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế của phương trình.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right).f''\left( x \right) + {\left[ {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{x + 2}}} \right]^2} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right).f''\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = - {\left[ {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{x + 2}}} \right]^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right).f''\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} = - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left[ {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]' = - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \int {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{x + 2}} + C\end{array}\)

Thay \(x = 0 \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 0 \right)}}{{f\left( 0 \right)}} = \dfrac{1}{2} + C \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + C \Leftrightarrow C = 0.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{x + 2}} \Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int {\dfrac{1}{{x + 2}}dx} \\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = \ln \left| {x + 2} \right| + C'\end{array}\)

Thay \(x = 0 \Rightarrow \ln \left| {f\left( 0 \right)} \right| = \ln 2 + C' \Leftrightarrow \ln 2 = \ln 2 + C' \Leftrightarrow C' = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = \ln \left| {x + 2} \right| \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {x + 2} \right| \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {f^2}\left( 1 \right) + {f^2}\left( 2 \right) = {\left( {1 + 2} \right)^2} + {\left( {2 + 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.