Cho một hình trụ xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn

Câu hỏi số 675429:

Vận dụng

Cho một hình trụ xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc \({45^0}\). Tính diện tích xung quanh hình trụ.

A. \({S_{xq}} = \dfrac{{2\pi {a^2}\sqrt 3 }}{5}\).

B. \({S_{xq}} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

C. \({S_{xq}} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \({S_{xq}} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:675429

Phương pháp giải

Xác định góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt đáy hình trụ.

Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago tính chiều cao và bán kính đáy hình trụ.

Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy R là \({S_{xq}} = 2\pi Rh\).

Giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó ta có \(OM \bot AB,\,\,O'N \bot CD\).

Gọi I là giao điểm của MN và OO’.

Đặt \(R = OA,\,\,h = OO'\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot IO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {IOM} \right) \Rightarrow AB \bot IM\)

\( \Rightarrow \) Góc giữa (ABCD) và mặt đáy hình trụ là góc \(\angle MOI = {45^0} \Rightarrow \Delta IOM\) vuông cân tại O

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OM = OI = \dfrac{{IM}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}BC = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow h = 2OI = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM ta có:

\(OA = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4} = R\).

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.