Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC’) và (BCC’B’)
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\). Biết cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC’) và (BCC’B’) bằng \(\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\) và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC’) bằng a. Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Trong (CC’M) kẻ \(CH \bot C'M\), chứng minh \(d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = CH\).
Gọi K là trung điểm của BH, chứng minh \(\left( {\left( {ABC'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {AN,NK} \right)\).
Tính AN = CM, từ đó tính được BC.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính CC’.
Tính thể tích \({V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{\Delta ABC}}\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Trong (CC’M) kẻ \(CH \bot C'M\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CM\\AB \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {CC'M} \right) \Rightarrow AB \bot CH\\\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot C'M\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {ABC'} \right)\\ \Rightarrow d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = CH = a\end{array}\)
Gọi K là trung điểm của BH \( \Rightarrow NK\) là đường trung bình của tam giác BHC
\( \Rightarrow NK = \dfrac{1}{2}CH = \dfrac{a}{2}\) và \(NK \bot \left( {ABC'} \right)\) (1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AN \bot BC\\AN \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AN \bot \left( {BCC'B'} \right)\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left( {\left( {ABC'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {AN,NK} \right)\).
Mà \(NK \bot \left( {ABC'} \right) \Rightarrow NK \bot AK \Rightarrow \Delta AKN\) vuông tại K.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\left( {ABC'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {AN,NK} \right) = \angle ANK\\ \Rightarrow \cos \angle ANK = \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\end{array}\)
Xét tam giác vuông AKN vuông tại K ta có: \(AN = \dfrac{{AK}}{{\cos \angle ANK}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}}} = a\sqrt 3 = CM\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CC’M, đường cao CH ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{C{M^2}}} + \dfrac{1}{{CC{'^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{CC{'^2}}}\\ \Rightarrow CC' = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array}\)
Vì tam giác ABC đều nên \(AN = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = \dfrac{{2AN}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2.a\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2a\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
